Discussion:Voisinage (mathématiques)

Ne vaudrait-il pas mieux appeler cet article voisinage (mathématiques) ? Pierrelm 22 avr 2005 à 11:18 (CEST)

Explication du revers

Tout élément d'une base de voisinage de a se contient lui-même, il contient donc un voisinage de a, au moins lui-même. Une base de voisinage permet de définir une topologie, qui par définition est stable par intersection finie.

Contre exemple : dans R considérons les intervalles ]-∞, a] et [a, +∞[ comme base de voisinages de a, pour tout a élément de R. Selon la définition précédente, il n'y a pas de souci, chaque élément possède bien une base de voisinage. Considérons la topologie induite, elle contient les singletons et par stabilité de l'union toute les parties de R, le singleton a est donc un ouvert de a, qui pourtant ne contient pas de voisinage. Jean-Luc W (d) 24 janvier 2008 à 12:10 (CET)

dans la définition de Théon, on précise que tout voisinage de a doit contenir un élément de la base de voisinage (et non tout tout élément d'une base de voisinage doit contenir un voisinage de a comme tu sembles l'avoir lu). HB (d) 24 janvier 2008 à 13:16 (CET)

(après relecture) l'erreur dans l'énoncé me semble située avant dans la définition : En effet, il est écrit "une base de voisinage est une famille de partie de E contenant a tels que .." (le reste est bon) alors qu'il faudrait dire "une base de voisinage est une famille de voisinages de a tels que ..."

Enfin, si l'on veut définir une topologie à partir d'une base de voisinage, il faut définir la base de voisinage comme une famille W(a) de parties de E contenant a et vérifiant : Toute intersection finie d'éléments de W(a) contient un élément de W(a). Et définir alors un voisinage de a comme toute partie de E contenant un élément de W(a).

J'ai donc l'impression qu'ici ont été mélangées deux notions. HB (d) 24 janvier 2008 à 14:03 (CET)

Pour être précis on définit un ouvert O de E comme une partie de E tel que O est un voisinage de chaque élément a de O. Néanmoins deux confusions : une de Théon une de HB, cela semble indiquer que le texte n'est pas clair. Sur le fond Théon a donc raison, même si la correction proposée est trop rapide. Jean-Luc W (d) 24 janvier 2008 à 14:17 (CET)

J'ai l'impression que la confusion vient du fait que lorsque la topologie est déjà précisée, on dit qu'un ensemble est une base de voisinage (sous-entendu pour cette topologie) si c'est une base de voisinage (de façon abstraite sans référence à la topologie) et que la topologie engendrée par l'ensemble de voisinages ainsi défini est la topologie de départ. (et dans ce cas là il faut et il suffit que les ensembles de la base soient des voisinages pour la topologie, et que tout voisinage pour la topologie contient un élément de la base). Je pense qu'il faut définir donc une base de voisinages lorsque la topologie est connue (dans la partie 1, en tant que sous partie), et définir une base de voisinage abstraite en tant que sous partie de la partie. il y a une différence entre base de voisinage (en tant que base de filtre abstraite) et système fondamental de voisinage pour une topologie donnée (voir Glossaire_topologique) 2.--Amic 20 avril 2008 à 18:49 (CEST)

Base de voisinages au point a et seulement en ce point

Pour essayer de clarifier dans un français correct...

Pour définir la topologie, 2 moyens : 1) en définissant les ouverts -> on définit alors les voisinages à partir des ouverts 2) en définissant les voisinages -> on définit alors les ouverts à partir des voisinages

Mais on ne peut définir les voisinages ou les ouverts à partir d'une base de voisinages. Pourquoi ? Tout simplement parce qu'une base de voisinages est définie pour un point particulier.

Personnellement, je suis d'accord avec le fait qu'il faille définir une topologie AVANT de définir une base de voisinages. Dans la définition d'une base de voisinages, il ne s'agit pas d'une famille d'ensembles mais d'une famille de voisinages.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 78.113.60.213 (discuter), le 18/10/09.

Fait, car entièrement d'accord avec cette contestation et toutes les précédentes. Anne (discuter) 27/10/13

Existence d'une topologie définie par les voisinages

Il me semble que la démonstration de l'existence d'une topologie définie par les voisinages est incomplète, ou en tout cas trop synthétique pour être intelligible En effet, il existe deux versions différentes de l'axiome V des voisinages.

On trouve parfois : Pour tout voisinage V de x, il existe un W inclus dans V qui contient x et qui est voisinage de tout ses points. Alors il est immédiat qu'il est ouvert, par définition des ouverts définis par les voisinages.

Mais ici, il est question de l'axiome défini dans Bourbaki : Pour tout voisinage V de x, il existe un W tel que V est voisinage de tous les points de W.

Dans ce cas, il n'est pas immédiat que l'ensemble des points O (correspondant à la note de bas de page) est un ouvert. Pour prouver la fin de la phrase : "pour tout point a de O, O appartient à l'ensemble des voisinages de a", il faut préciser une étape : D'après l'axiome 5, il existe un voisinage W de a tel que V est voisinage de tous les points de W. Par définition de O, W est inclus dans O. O contient un voisinage de a, donc il est lui même voisinage de a.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Bobouh (discuter), le 22/8/15, 22h55‎.

Inutile : cf. note 1. Anne 23/8, 0h20

Caractère excessivement/maladroitement ambitieux (?) de l'article pour wp ?

Il n'y a pas un dessin (à comparer avec l'article anglophone par exemple)! Le fait que la propriété :"l'ensemble des voisinages est un filtre" soit citée sans même faire le lien avec la définition de la limite d'une fonction me paraît maladroit. Bref, cet article prive une bonne partie des lecteurs potentiels de la possibilité d'y apprendre qqchose, selon moi. Cdt,--Stefan jaouen (discuter) 3 juillet 2022 à 10:54 (CEST)