Discussion:Théorème de Frattini

Quelques petites remarques

Trois petites remarques sans trop d'importance :

1. La définition d'un élément non-générateur n'est pas celle d'un élément qui n'est pas générateur. En soit, cela ne me semble pas bien grave, mais une petite remarque pour insister sur ce fait permet peut être à un lecteur trop rapide d'éviter de glisser sur une tentante peau de banane.
2. Ensuite, Cartan à son séminaire insistait beaucoup pour éviter les futurs, il précisait qu'une propriété était est et sera vraie, indépendamment du fait qu'elle est ou non démontrée. Beaucoup de ses élèves : Grothendick, Douady ... ont perduré la tradition. Elle me semble sympathique.
3. Enfin et personnellement, je n'aime pas beaucoup latex dans le corps de texte, l'écartement des lignes devient aléatoire et la lisibilité moins bonne. Cette position est polémique au sein de WP, certains ont la même opinion que moi et utilisent l'argument d'une meilleur accessibilité pour les aveugles, d'autres sont d'avis contraire. Aucune majorité ne semble s'être dégagée. Le seul point qui devrait faire consensus (mais qui ne concerne pas cet article et sur lequel je n'ai aucun élément pour étayer ce propos) est qu'un article avec un style ne doit pas changer en cours de route, ce n'est pas agréable.

Plus important :

1. Sans catégorie, il est bien difficile de trouver l'article, pour cette raison, il me semble utile voir important d'offrir au moins une catégorie, ici, j'imagine groupe fini. Un petite ligne d'explication dans les p-groupes est toujours sympathique, j'ai vu qu'il est cité, mais si le lecteur ne connait pas ce résultat ou sous ce nom là, il passe peut être à coté de l'information clé pour lui.
2. Enfin, au moins une référence, c'est sympathique pour celui qui cherche à aller plus loin et pour ajouter de la crédibilité à l'article. Comme tu l'as surement constaté, WP est parfois fragile sur certains articles, le lecteur intéressé par ce type d'article et utilisant WP est très probablement au courant. Les articles référencés sont souvent plus précis. Un lien interwiki est aussi sympa, il permet d'accéder directement à une information de même nature parfois traité différemment. Personnellement, j'en mets un en anglais, les robots font en général le reste. Ici l'article s'appelle Frattini subgroup et la syntaxe est en:Frattini subgroup entre quatre crochets.

PS: En conclusion, voilà un article bien sympathique. Jean-Luc W (d) 20 février 2008 à 16:35 (CET)

Je ne sais pas comment marche les catégories ni les liens interwiki. Et au sujet des références c'est bien là un gros problème. Et sinon pour les remarques sans importance je ne vois pas où j'ai utilisé le futur. Noky (d) 20 février 2008 à 16:54 (CET)

J'ai mis un exemple pour les catégorie et un lien interwiki. Pour le lien, en fait j'ai tapé Frattini sur WP anglais, il propose alors un ensemble d'article. J'ai pris celui qui me semble le plus proche (même si en fait l'article anglais couvre aussi le cas non fini). Pour le futur, je pensais à On va montrer que, c'est vraiment du pinaillage à la Cartan, cette remarque. Pour la référence, j'ai mis un lien accessible sur le Web, je n'ai pas vérifié la cohérence entre l'article et le lien. Pour la référence, personnellement je pense à Hall, c'est là que j'ai appris les groupes de Frattini, mais comme je ne compte pas vérifier la cohérence, la mettre serait abusif. Jean-Luc W (d) 20 février 2008 à 17:10 (CET)

C'est pour le lecteur que je fais ce pinaillage. J'ai souvent lu des preuves sans ce pinaillage qui affirme un truc, là je me dis d'où c'est vrai, j'y réfléchis, perds du temps relis le début puis au bout d'une demi-heure d'énervement je me rends compte que c'est qqc qu'il va montrer (parfois en trois pages). Et suivant le principe << Ne fais pas aux autres ce que tu ne veux pas que l'on te fasse. >> j'écris on va montrer. Après c'est un question de style. et je dois avouer que j'ai toujours trouvé que Cartan est un mec qui sait rédiger une preuve. La référence je ne peux la mettre sans la connaitre. Et la preuve je l'invente au fur et a mesure. Je ne la recopie pas. Noky (d) 20 février 2008 à 17:40 (CET)

J'étais imprécis dans ma rédaction, je pense que c'est moi et pas toi qui pinaille. Je suis parfaitement d'accord avec ce futur. C'est toujours dangereux d'écrire une preuve sans référence. L'énergie passé à rédiger proprement entraine parfois des erreurs. Nous avons tous commencé comme ça. Puis le temps passant, on référence de plus en plus. Officiellement c'est interdit d'écrire sans référence, en pratique, pour les démonstrations qui nous semblent simples on ne se prive pas beaucoup. Quand c'est plus technique, on préfère une source, c'est plus sympa pour les relecteurs. Pour la preuve par l'algèbre de d'Alembert Gauss, j'ai lu celle de Frobenius : aussi légère qu'une soupe au choux teutonique. J'ai donc complètement repris la tienne, beaucoup plus élégante, même si dans le fond elles sont équivalentes. Mais j'étais moins gêné, réécrire une démonstration sans en modifier le contenu n'est pas trop dangereux. Jean-Luc W (d) 20 février 2008 à 18:17 (CET)

Amélioration possible

• Ben voilà la preuve est finie. J'ai essayé de ne pas trop mélanger Latex et les formules. Une relecture est la bienvenue.
• Après peut-être qu'elle peut être clarifiée, précisée... Sinon je me disais qu'un petit historique serait le bienvenue. J'ai d'ailleurs remarqué qu'il n'y avait pas d'article sur Frattini c'est peut-être normal, peut-être pas. Voilà si qqn a des références à ce sujet là qu'il les cite, elles seront les bienvenues.
• Et peut-être même que l'on pourrait parler du sous-groupe de Frattini pour un groupe infini.
• Sinon j'ai nommé l'article théorème de Frattini, mais il n'est peut-être pas nommé ainsi dans la littérature on parle peut-être que du sous-groupe de Frattini et de l'espace de Frattini (l'espace vectoriel qui résulte du quotient). Alors peut-être qu'il faudrait créer deux pages dont l'une dirige sur l'autre et virer celle ci.

Noky (d) 20 février 2008 à 21:33 (CET)

Idées d'améliorations

Plusieurs buts a mon sens sont déjà atteints, la rédaction est limpide et le plan est clair. Il est agréable et de bon goût.

Motivations

La partie qui, à mon sens manque maintenant le plus est la motivation. A quoi un tel théorème sert ? ou encore quels en sont les usages. Une technique que j'utilise est l'historique du théorème. En répondant aux questions : pourquoi son découvreur a-t-il écrit l'article fondateur en 1895 ? pourquoi Hall le reprend ? Qui l'utilise ? C'est une technique, d'autres fonctionnent autrement : qu'importe le flacon pourvu qu'on ait l'ivresse.

Une telle approche m'est utile car elle m'aide à prendre connaissance des articles connexes qui se trouvent enrichis par l'apport du nouvel article. Elle permet, par un judicieux choix de liens bleus de rendre l'article accessible plus facilement pour le lecteur un peu perdu dans les 600 000 articles disponibles.

Une fois la motivation décrite, une question s'éclaircit : l'article doit-il plutôt traiter des groupes de Frattini, du cas général avec l'ordre infini, uniquement du théorème ? Une aide que j'utilise sont les articles connexes dans les autres langues (en pratique uniquement anglais et allemand) et beaucoup Google. Le ranking de Google dépend aussi du nombre de personnes qui lisent l'article, il montre ainsi les thèmes les plus lus sur un sujet précis. Dans ton cas on trouve : 1) A class of Frattini-like subgroups of a finite group un article inaccessible qui semble attacher de l'importance à l'ordre infini 2) les transporteurs et les groupes de Fittings 3)Groupes de Galois arithmétiques encore un truc inaccessible mais qui ajoutent des mots intéressants à la question : Galois et arithmétique 4) les.mathématiques.net tient un site grand public avec une question intéressante ? puis-je trouver le groupe de Frattini de GL_n(F_p) avec l'article de WP ? ouaip mais j'aurais pu être plus aidé. A quoi ça sert de connaitre ce sous-groupe ? J'ai bien une idée mais je ne suis pas sur de moi.

Tu sais que tu as gagné quand le site WP est en numéro 1. C'est étonnamment rapide.

Wikification

Un autre axe d'amélioration est la wikification, c'est à dire l'ajout des liens bleus dans l'article pour permettre au lecteur d'approfondir les différents points où il n'est pas suffisamment à l'aise. C'est un jeu amusant et subtil. Mon erreur initiale était de trop wikifier. J'aurai ainsi wikifier ensemble. Avec le temps et les remarques d'autres contributeurs, je me suis rendu compte qu'un lecteur qui a besoin de précision sur le mot ensemble pour un article de cette nature est probablement une cause perdue. Je fais une exception à l'introduction, un lecteur peut être égaré. En revanche j'imagine des liens sur les mots F_p, orbite (je sais qu'il existe déjà un lien vers action de groupe, mais personnellement je double), distingué (un peu limite, celui là). Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 11:20 (CET)

Introduction

La règle veut qu'un article n'ait pas d'introduction, mais un résumé introductif, la règle du jeu y est explicité.

L'objectif est, le plus rapidement possible permettre au lecteur de savoir de quoi il s'agit : de math, d'algèbre de théorie des groupes spécifiquement sur un groupe fini. Une proportion non négligeable de lecteurs trouveront l'article par hasard et souhaitent rapidement savoir si cet article répond ou non à leur question. J'ai fait un tout petit quelque chose pour donner une idée d'exemple. Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 08:19 (CET)

Mon idée à moi

Le théorème de Frattini est (aussi) un théorème sur les pro-p-groupes. Je n'ai pas lu la preuve ni dans le cas fini, ni dans le cas profini récemment, mais j'imagine qu'elles doivent être essentiellement identiques. Voir par exemple (en) Luis Ribes et Pavel Zalesskii, Profinite Groups [détail des éditions]. Comme application, je propose aussi le problème des tours de corps de classes, résolu grâce au théorème de Golod-Chafarevitch ; c'est déjà évoqué dans corps de Hilbert. Bon, ça fait du boulot, à voir les liens. Salle (d) 21 février 2008 à 18:28 (CET)

Éléments mous

Dans l'article, on appelle "élément mou" ce que les anglophones appellent "nongenerator" et que Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 267, appelle élément superflu. Une recherche Google fournit trois fois "mou" et pas une seule fois "superflu" dans ce sens. Je compte écrire un article Sous-groupe de Frattini et j'aimerais renvoyer à un livre (plutôt qu'à un cours mis sur Internet) pour l'usage de mou. Quelqu'un connaît-il un livre où c'est le mot "mou" qui est utilisé ? (J'avoue que je préfèrs "superflu".) Merci d'avance. Marvoir (d) 27 octobre 2010 à 10:22 (CEST)

Il est vrai que Luisa Paoluzzi, qui n'est pas la première venue, dit mou dans ce document], je vais donc considérer cela comme une référence satisfaisante. Marvoir (d) 27 octobre 2010 à 11:11 (CEST)

Ce théorème est-il bien appelé "théorème de Frattini" ?

Le théorème qui fait l'objet de l'article est énoncé et démontré dans cinq manuels que je possède :

• W.R. Scott, Group Theory, 7.3.7 (rééd. Dover 1987, p. 160)
• J.S. Rose, A Course on Group Theory, 11.10 (rééd. Dover 1994, pp. 270-271)
• H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, 2004,5.2.8, p. 106.
• J.J. Rotman, An Introduction of the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, 5.48, (iii), p. 123.
• Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 194, ch. VII, exerc. 34, p. 268.

En aucun de ces endroits, ce théorème n'est attribué à Frattini. Pourtant, Rotman se donne la peine de dire que l'énoncé (i) de son théorème 5.48 (le sous-groupe de Frattini d'un groupe fini est nilpotent) a été démontré par Frattini en 1885.

Je me demande donc si ce théorème porte bien le nom de "théorème de Frattini" dans la littérature. (Je n'ai malheureusement pas D. Gorenstein sous la main.) Le théorème est appelé "théorème de Frattini" par Fabrice Castel (Université de Rennes) sur ce document, p. 45, mais sans référence précise à une publication de Frattini.

Les autres résultats Google sur "Théorème de Frattini" qui ne dépendent pas de Wikipédia donnent sous ce nom le fait que le sous-groupe de Frattini d'un groupe fini est nilpotent.

Au cas où la dénomination "Théorème de Frattini" ne serait pas vraiment conforme à la littérature (je n'en sais rien), il vaudrait peut-être mieux renommer l'article "Espace de Frattini" (expression qui, je crois, ne pose pas de problème). Marvoir (d) 27 octobre 2010 à 20:10 (CEST)

Faut-il démontrer ici que les éléments mous sont ceux qui appartiennent à tout sous-groupe maximal ?

On démontre dans l'article que les éléments mous du groupe considéré (un p-groupe fini) sont ceux qui appartiennent à tout sous-groupe maximal.

La démonstration me semble utiliser le fait que G est fini; voir ce passage : "Soit un élément appartenant à l'intersection de tous les sous-groupes maximaux et n'appartenant pas au sous-groupe de Frattini. Soit une partie n'engendrant pas le groupe en entier, mais l'engendrant avec cet élément. Cette partie appartient au moins à un sous-groupe maximal".

Or dans tout groupe, fini ou non, les éléments mous sont ceux qui appartiennent à tout sous-groupe maximal. J'en ai mis une démonstration dans l'article Sous-groupe de Frattini. Ne vaudrait-il dès lors pas mieux ne plus démontrer dans le présent article que les éléments mous sont ceux qui appartiennent à tout sous-groupe maximal ? Marvoir (d) 27 octobre 2010 à 20:10 (CEST)

fait, Anne (d) 25 novembre 2012 à 15:05 (CET)

Généralisable ?

Groupprops a l'air de dire qu'on peut remplacer « p-groupe fini » par « groupe nilpotent ». Anne (d) 23 novembre 2012 à 21:07 (CET)

Ou bien il y a quelque chose qui m'échappe, ou bien Groupprops se trompe. Il dit : "For a nilpotent group, the Frattini quotient is always an elementary Abelian group." Désignons par G un groupe cyclique d'ordre 6. G est commutatif et donc nilpotent. Son sous-groupe d'ordre 2 et son sous-groupe d'ordre 3 sont maximaux (puisque d'indices premiers), donc le sous-groupe de Frattini de G est contenu dans l'intersection de ces deux sous-groupes. Vu leurs ordres, ces deux sous-groupes ont une intersection réduite à l'élément neutre, donc le sous-groupe de Frattini de G est réduit à l'élément neutre, donc le quotient de G par son sous-groupe de Frattini est isomorphe à G et est donc un groupe cyclique d'ordre 6. Cela ne correspond pas à la définition que Groupprops donne lui-même d'un "elementary Abelian group". Marvoir (d) 25 novembre 2012 à 14:33 (CET)

J'avais fini par penser pareil. Mais on peut quand même remplacer "p-groupe fini" par "p-groupe nilpotent". L'un de tes bouquins le fait-il ? Anne (d) 25 novembre 2012 à 15:05 (CET)

Je vais regarder dans mes bouquins, mais ce sera sans doute pour demain. Ceci dit, il me semble qu'on peut sauver l'assertion de Groupprops sous la forme suivante : si G est un groupe nilpotent fini, le quotient de G par son sous-groupe de Frattini est une somme directe de groupes (abéliens) d'ordres premiers. Je pense avoir rédigé une démonstration en imitant Rotman, dém. du théor. 5.48, p. 123, mais je ne sais pas si c'est la plus simple possible. Dans le cas particulier où G est un p-groupe (fini), on retrouve le théorème classique. Marvoir (d) 25 novembre 2012 à 15:23 (CET)

Voilà, si j'ai bien cherché, aucun de mes livres ne mentionne la généralisation que tu indiques. Mais il me semble qu'elle est implicitement utilisée dans les deux premiers alinéas de U. H. M. Webb, "The occurrence of groups as automorphisms of nilpotent p-groups", Archiv der Mathematik, vol. 37, 1981, p. 481-498, consultable (pas pour longtemps ?) sur Springer Links. Une petite remarque du genre "La même démonstration montre que ce résultat est encore vrai si G est un p-groupe nilpotent non nécessairement fini" ne me semblerait vraiment pas un péché de travail inédit. Marvoir (d) 26 novembre 2012 à 09:56 (CET)

Merci pour tes recherches. À toi l'honneur pour ce petit ajout. Anne (d) 26 novembre 2012 à 17:51 (CET)

Honneur immérité, mais je n'ai pas voulu avoir l'air de renâcler à la tâche. Marvoir (d) 26 novembre 2012 à 18:10 (CET)