Discussion:Groupe simple
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Ce théorème a-t-il un nom ?[modifier le code]
Dans l'étude des groupes simples finis, on se sert beaucoup du théorème suivant : "Si un groupe simple G opère non trivialement sur un ensemble X de cardinal fini n, G est isomorphe à un sous-groupe de Sn (et, en particulier, G est fini). Si, de plus, l'ordre de G est au moins égal à 3, G est isomorphe à un sous-groupe de An.". (La partie relative à An est moins courante. Je l'ai trouvée sur une page Internet dont le contenu n'est plus public. Pour une démonstration, voir par exemple Wikiversité.
Il me semble que j'ai déjà vu ce théorème désigné comme "théorème du plongement" ou "théorème du plongement des groupes simples", mais je ne trouve pas de référence. Je crois que ce théorème mériterait d'être énoncé quelque part, et de porter un nom, ce qui faciliterait l'indication des grandes lignes de certaines démonstrations qu'on ne veut pas donner in extenso. (Par exemple la démonstration du fait que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5 dans l'article Groupe alterné.)
Quelqu'un connaît-il un ouvrage où un nom est attribué à ce théorème ?
Marvoir (d) 5 septembre 2009 à 08:49 (CEST)
- Ce théorème ressemble fort à une version généralisée du Théorème de Cayley (si on en regarde la démonstration des deux théorèmes, on pourrait s'y méprendre...). Je n'ai pas non plus trouvé de nom à ce théorème précis, mais ce serait bizarre qu'il en ait un vu qu'il à quel point il est proche du théorème de Cayley.
- L'hypothèse de simplicité (qui n'est pas dans le théorème de Cayley) permet de plonger le groupe en question dans un groupe de permutations plus petit que celui que donne Cayley. Le théorème en question n'est donc ni plus fort (car ses hypothèses sont plus fortes) ni plus faible (car sa thèse est plus forte) que celui de Cayley. On peut évidemment énoncer un théorème dont le théorème de Cayley et le théorème ci-dessus se déduisent tous deux de façon assez immédiate (voir J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 53), mais ce n'est pas pour cela que ces deux théorèmes se ramènent l'un à l'autre. Le théorème en question ici joue un rôle important dans l'étude des groupes simples finis, je pense donc qu'il mérite d'avoir un nom. Marvoir (d) 12 octobre 2010 à 18:37 (CEST)
- Dans cet exposé intitulé « LE THÉORÈME DE CHERMAK-DELGADO », Christophe Bertault propose d'appeler le théorème en question « principe factoriel ». Marvoir (discuter) 8 mai 2018 à 08:24 (CEST)
- L'hypothèse de simplicité (qui n'est pas dans le théorème de Cayley) permet de plonger le groupe en question dans un groupe de permutations plus petit que celui que donne Cayley. Le théorème en question n'est donc ni plus fort (car ses hypothèses sont plus fortes) ni plus faible (car sa thèse est plus forte) que celui de Cayley. On peut évidemment énoncer un théorème dont le théorème de Cayley et le théorème ci-dessus se déduisent tous deux de façon assez immédiate (voir J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 53), mais ce n'est pas pour cela que ces deux théorèmes se ramènent l'un à l'autre. Le théorème en question ici joue un rôle important dans l'étude des groupes simples finis, je pense donc qu'il mérite d'avoir un nom. Marvoir (d) 12 octobre 2010 à 18:37 (CEST)
Un groupe trivial est-il simple ?[modifier le code]
Je mets ici une remarque que j'ai déjà mise sur la page de discussion de l'article Groupe (mathématiques).
L'article dit : "un groupe simple est un groupe qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial."
Mes livres (Rotman 1999, p. 39; Bourbaki, Algèbre, ch. 1, 1970, p. 36...) imposent en plus au groupe de ne pas être trivial. Donc, d'après mes livres, il faudrait : "Un groupe G est dit simple s'il n'est pas réduit à son élément neutre et que ses seuls sous-groupes normaux sont son sous-groupe trivial (réduit à l'élément neutre) et le groupe G lui-même."
La terminologie est-elle flottante ? Marvoir (d) 1 novembre 2010 à 14:59 (CET)
- Oullah, désolée, heureusement que tu veilles au grain ! Je vais de ce pas, en utilisant tes 2 refs, réparer ma gaffe dans Groupe (mathématiques) et préciser la def dans cet article-ci (def à laquelle je m'étais fiée pour cela ... comme quoi : ne jamais faire confiance à une affirmation de WP, surtout non sourcée), et vérifier que la même erreur ne s'est pas glissée, antérieurement ou par ma faute, dans les articles auxquels j'ai touché cette nuit. Anne Bauval (d) 1 novembre 2010 à 16:33 (CET)
- "ne jamais faire confiance à une affirmation de WP, surtout non sourcée" Chuuuut... L'ennemi écoute ! Marvoir (d) 1 novembre 2010 à 18:20 (CET)
"Normal" ou "distingué" ?[modifier le code]
Je viens de révoquer une modification de Pguillon, qui avait remplacé "normal" par "distingué". J'ai donné comme justification que "normal" est correct et qu'on ne corrige pas ce qui est correct. En fait, l'article avait commencé par utiliser "distingué" et pguillon, en somme, n'a pas eu tort d'uniformiser la terminologie au sein de l'article. Ceci dit, je préfère "normal", qui est lui aussi usité en français et qui a l'avantage de ne pas créer de difficulté pour le lecteur habitué à la terminologie anglaise. Mais si on remplace de nouveau "normal" par "distingué", je n'insisterai pas. Marvoir (discuter) 9 octobre 2019 à 12:33 (CEST)