Discussion:Groupe résoluble

Correction d'un petit bug

J'ai remplacé l'inclusion entre I et G₀, car sinon, G₀ peut être simple et non abélien et le groupe est non résoluble, comme par exemple le groupe des permutations de cinq éléments, on prend G₀ le groupe des permutations paires et le tour est joué. Jean-Luc W 27 juin 2006 à 10:53 (CEST)

phrase imprécise dans la section Propriétés

Pour un groupe résoluble fini, il est équivalent de rechercher une chaîne de composition dont les facteurs sont des groupes cycliques d'ordre premier (puisque tout groupe simple abélien fini est cyclique d'ordre premier).

« il est équivalent ...», qu'est ce qui est équivalent, à quoi? Peut-être « Pour un groupe fini, être résoluble est équivalent à ...», ou alors dans un genre plus mathématique, « Un groupe fini est résoluble si et seulement si il possède une chaîne... » j'ai fait une modification dans ce sens. Etrillaud (d) 27 janvier 2010 à 01:57 (CET)

Double emploi

La section "Chaîne de composition" me semble faire double emploi avec ce qui est dit des suites de Jordan-Hölder dans l'article Théorème de Jordan-Hölder. Il me semble que la définition des "chaînes de composition" ("suites de Jordan-Hölder" chez Bourbaki) est mieux à sa place dans l'article Théorème de Jordan-Hölder. Ne pourrions-nous pas supprimer ici la section "Chaîne de composition", et, plus loin, dans la 6e des propriétés, à savoir "Un groupe fini est résoluble si et seulement s'il admet une chaîne de composition dont les facteurs sont des groupes (cycliques) d'ordre premier (puisque tout groupe fini admet une chaîne de composition et que si le groupe en question est résoluble, les quotients d'une telle chaîne sont à la fois simples et résolubles)", mettre un lien bleu à "chaîne de composition" vers l'article Théorème de Jordan-Hölder ?

Par parenthèse, au lieu de "chaîne de composition", je préférerais "suite de Jordan-Hölder", qui a l'avantage de n'être employé que dans un sens (à ma connaissance, du moins). Marvoir (d) 1 mars 2012 à 12:40 (CET)

Exemple récent

Stefan jaouen vient d'ajouter ceci :

Via l'isomorphisme d'algèbres de Z/30Z avec Z/6ZxZ/5Z, identifions Z/6Zx{0] avec Z/6Z... On a alors, en ne considérant évidemment que l'addition,

{0} est distingué dans Z/2Z est distingué dans Z/6Z est distingué dans Z/30Z

Ainsi, le groupe Z/30Z est résoluble. En utilisant le même type de décomposition, et en considérant cette fois le groupe des unités de Z/30Z, on obtient que ((Z/30Z)^x,x) est résoluble. De même, pour n'importe que nombre premier p_n, (Z/p_n#Z,+) est résoluble et ((Z/p_n#Z)^x,x) est résoluble, où p_n# désigne la primorielle de p_n. On se sert de cette propriété par exemple dans la recherche de suites de nombres premiers arbitrairement longues.

J'avoue que je ne comprends pas. Il me semble que tous les groupes mentionnés sont abéliens et qu'il est donc trivial qu'ils sont résolubles. Y a -t-il quelque chose qui m'échappe ? Marvoir (discuter) 7 août 2019 à 09:54 (CEST)

pê l'exemple n'est-il effectivement pas à sa place ici mais plutôt par exemple dans suite de composition. On peut en discuter,Marvoir. Cordialement, --Stefan jaouen (discuter) 7 août 2019 à 10:05 (CEST)

Pour ma part, je n'aime pas beaucoup les exemples empruntés à des régions mathématiques peu fréquentées, telles que le théorème de Green-Tao. Un coup d'œil sur l'article Théorème de Green-Tao ne me donne d'ailleurs pas l'impression que les suites de composition de la théorie des groupes y jouent un rôle fondamental. Je serais d'avis de ne pas mentionner le théorème de Green-Tao, ni dans l'article sur les groupes résolubles, ni dans celui sur les suites de composition. Marvoir (discuter) 7 août 2019 à 10:38 (CEST)

j'ai modifié en essayant de tenir compte de vos remarques. L'exemple est aussi donné dans théorème de Jordan-Hölder. Ce n'est sans doute pas encore satisfaisant mais cela va dans le bon sens. Je regrette que le théorème de green-tao soit peu fréquenté sur wp... merci Marvoir .--Stefan jaouen (discuter) 7 août 2019 à 10:55 (CEST)

Je continue à penser que, puisque notre article sur le théorème de Green-Tao ne contient même pas les expressions « suite de composition » et « groupe résoluble », il vaut mieux ne pas donner ce théorème comme exemple d'utilisation d'une de ces notions. J'apprécierais d'ailleurs une référence à une démonstration du théorème de Green-Tao où la notion de groupe résoluble ou de suite de composition est utilisée explicitement. Marvoir (discuter) 7 août 2019 à 11:23 (CEST)

Vous avez sans doute raison, j'ai d'ailleurs supprimé l'allusion. Par ailleurs, je n'ai pas dit,Marvoir, que la suite de composition mentionnée est utilisée dans la démonstration du théorème de Green-Tao. Elle l'est dans l'étude des suites arithmétiques de nombres premiers arbitrairement longues. J'en ai donné un exemple d'utilisation dans l'article primorielle. cordialement,--Stefan jaouen (discuter) 7 août 2019 à 11:34 (CEST)