Discussion:Tour d'extensions quadratiques

Pluriel

Il me semble plus logique (et probablement plus sourçable) de dire "Tour d'extensionS quadratiqueS". Anne Bauval (d) 1 mai 2010 à 18:41 (CEST)

paragraphe motivation

La reconstitution historique (non sourcée) de ce paragraphe me semble sévèrement fausse

• en lisant l'article de Wantzel : il ne parle pas de corps ni d'extension mais parle directement de polynômes (enfin d'équations polynomiales), et de coefficients comme fractions rationnelles des coefficients et racines précédentes, bref si on peut suivre l'idée à la façon moderne, ça parait malgré tout assez loin ;
• il n'est pas matériellement impossible qu'il ait lu Galois avant 1846, mais ça se saurait ;
• de toute façon il n'utilise rien de la théorie de Galois (même vu a posteriori), et il s'appuie sur Gauss.

Je propose d'éliminer, il faudrait peut-être d'une façon ou d'un autre quand même garder en lien l'article de Wantzel ? Proz (discuter) 21 février 2014 à 23:33 (CET)

Je supprime ce paragraphe qui me paraît donner une idée fausse des choses, car au rebours de la chronologie historique, c'est pour le résultat démontré par Gauss que la théorie de Galois est utilisée aujourd'hui (pas par Gauss bien-sûr), et non pour celui démontré par Wantzel. Il me paraît certain que la notion est (implicitement comme dans Wantzel) dans Gauss 1801, et probablement est-ce l'origine, donc si quelqu'un a une source pour le dire correctement ne pas hésiter, idem s'il y a quelque chose à récupérer. Proz (discuter) 24 avril 2014 à 18:20 (CEST)

Autres problèmes

Il y a une erreur sur le second exemple (l'hypothèse devrait être soit n est un nombre premier de Fermat, soit phi(n) est une puissance de 2), comme l'article est en cours d'édition je ne corrige pas pour ne pas interférer, d'autant que l'erreur est probablement déjà repérée. Mais je trouve par ailleurs cet article assez problématique (outre le paragraphe "motivations" ci-dessus) :

• C'est un détail mais la terminologie n'est pas universelle ni même très utilisée (je ne la trouve ni dans Carrega, ni dans Chambert-Loir, qui parlent de suite, ni dans Samuel, ni dans la ref. en ligne en français, Lang parle de "tower of fields") ;
• l'organisation rend obscure une chose assez simple qui est que les résultats d'impossibilité ne dépendent que du résultat de Wantzel qui n'utilise pas de théorie de Galois, mais juste de la théorie des corps,
• idem pour le résultat de Gauss que l'on démontre maintenant avec de la théorie de Galois, Gauss se ramène à une racine p-ième pour p premier ce qui est facile (Bezout) et c'est aussi ce que fait Carrega par exemple, pas besoin de parler de polynôme cyclotomique en général et de renvoyer à l'article à ce sujet,
• ces choses sont ou pourraient être traitées dans les articles théorème de Wantzel et théorème de Gauss-Wantzel, en fait je ne suis pas du tout sûr que cet article soit nécessaire.

Proz (discuter) 23 avril 2014 à 15:49 (CEST)

(Tu aurais pu, j'étais sortie et tu peux faire tout le ménage que tu veux dans "Motivations", je n'y touche pas.) Je n'avais pas encore repéré l'erreur : j'écrème petit à petit car pour l'instant c'est effectivement artificiellement compliqué donc difficile à lire. On verra bien ce qu'il en restera (peut-être juste : « toute extension Galoisienne de degré une puissance de 2 etc. ») mais à mon avis même si cet article n'est pas très utile, ce serait de l'énergie perdue de le proposer en PàS. J'ai trouvé des refs pour « tower of quadratic extensions » : [1], [2], [3], [4]. Anne (discuter) 23 avril 2014 à 19:00 (CEST)

Oui le terme existe (au moins en anglais). Je ne songeais pas à une suppression, éventuellement une redirection ou plutôt un article court, mais vraiment rien d'urgent. Je voudrais juste acter que l'on peut considérer ne pas "compter" sur cet article, par exemple je compte rapatrier les conséquences du théorème de Wantzel qui n'y sont pas dans l'article dédié (et j'y ai supprimé un "article détaillé" pointant ici qui ne m'a pas paru utile). Pour motivations : ok, c'est juste que je suis toujours très gêné par ces trucs historiques qui traînent ici et ailleurs, assez faux, mais rarement complètement. Proz (discuter) 23 avril 2014 à 20:18 (CEST)

Tout bien réfléchi, cet article me semble avoir sa raison d'être, s'intercalant (petitement) entre Wantzel et Gauss-Wantzel pour traduire (sur ℚ) "tour d'extensions quadratiques" en "extension de degré une puissance de 2". De ce point de vue, l'application "duplication du cube" resterait la seule à détailler ici, plutôt que dans Gauss-Wantzel qui est un théo sur les polygones réguliers. Anne (discuter) 23 avril 2014 à 21:13 (CEST)

Ok, tu as raison c'est utile pour la partie "Gauss" de théorème de Gauss-Wantzel, mais paraît quand même suffisamment général pour exister ici. Par contre pour la duplication du cube ça a sa place sur théorème de Wantzel (où c'était déjà j'ai juste un peu détaillé), et qui parle (depuis longtemps) sans les appeler ainsi de tour d'extensions quadratiques. Mais la partie "Wantzel" (la partie négative) ne demande que de la théorie élémentaire des corps et pas de théorie de Galois, et n'a pas besoin de renvoyer sur un article spécialisé. Je pense aussi mieux pour les polygones réguliers de donner la partie "Wantzel" sur l'article théorème de Wantzel et renvoyer à Gauss-Wantzel pour le théorème complet (qui lui renverra donc ici). Proz (discuter) 23 avril 2014 à 21:32 (CEST)

Clôture normale d'une tour d'extensions quadratiques

(pour étayer, en ajoutant une "propriété galoisienne", la dernière phrase de Tour d'extensions quadratiques#Résultats géométriques par laquelle j'ai remplacé mon énorme bêtise)

Je trouve des refs sur ℚ (montrant que c'en est encore une) mais pas sur un corps de caractéristique quelconque. La preuve à laquelle je pense est toute simple (en gros : comme dans Tour d'extensions quadratiques#Clôture quadratique) mais j'ai peur de me tromper à nouveau. Anne (discuter) 24 avril 2014 à 16:42 (CEST)

L'énoncé 5.1.1 ici http://www.math.polytechnique.fr/~chambert/teach/algebre.pdf p 97, si j'ai bien compris, utilise pour sa démonstration celui que tu souhaites, mais c'est donné seulement pour Q et la preuve est simple mais ne me paraît pas passer pas en général (théorème de l'élément primitif), après je n'ai pas vraiment compris à quelle preuve tu penses. Par ailleurs comme CNS sur les nombres constructibles c'est intéressant, et il y a quelque chose que je ne comprends pas parce que ça me semble être la même chose que ce que tu as effacé. Proz (discuter) 24 avril 2014 à 17:55 (CEST)

Le principal intérêt est en effet la caractérisation des nombres constructibles (en remplaçant mon horreur "...ssi z est de degré..." par "...ssi la clôture normale de ℚ(z) est de degré...", ce qui est plus contraignant, contrairement à ce que j'avais écrit, et comme le prouve mon contre-exemple), mais ce serait mieux de le déduire de "toute clôture normale d'une TEQ est une TEQ" (i.e. même en caractéristique 2, si c'est bien vrai), où "TEQ" veut dire : le dernier corps d'une tour d'extensions quadratiques. Ici aussi ce n'est démontré que pour ℚ, mais d'une façon qui m'a l'air plus adaptable à la caractéristique 2. La preuve à laquelle je pensais est d'énoncer le lemme qui, si je ne me trompe pas, est en fait déjà démontré dans Tour d'extensions quadratiques#Clôture quadratique : "tout compositum d'un nombre fini de TEQ est une TEQ", et de l'utiliser à la fois pour cette histoire de clôture et pour cette caractérisation des constructibles. Anne, 18h39

Ok, j'avais cru que tu écrivais, de façon un peu alambiquée avec cette histoire de remplacement, si la "clôture normale de ℚ(z) est de degré...", enfin c'est ce que j'avais lu, d'où mon incompréhension ci-dessus. Proz (discuter) 24 avril 2014 à 18:50 (CEST)

Tu "savais" donc tu n'as pas lu jusqu'au bout mon "remplaçant ℚ(z) par sa clôture normale, ce qui n'ajoute pas de facteurs premiers au degré de l'extension". Oublions stp. C'est vrai ou pas (et sourçable, et démontrable comme esquissé) ce que je raconte ci-dessus ? Anne (discuter) 24 avril 2014 à 19:46 (CEST)

Je ne vois pas ce qui clocherait, Spindler dit d'ailleurs que ça fonctionne pour un corps quelconque, et si j'ai bien suivi, avec le lemme que tu proposes ce ne serais pas très différent (et de toute façon tu connais ces choses mieux que moi), mais je n'ai pas d'autre source. Proz (discuter) 25 avril 2014 à 00:05 (CEST)