Discussion:Théorie de Morse

Critique de l'article par Ektoplastor :

• Pour l'exemple du tore, ce serait plutot une coordonnee horizontale qu'une coordonnee verticale, non ?

je suppose que tu parles de l'image, il faudrait que je me décide à la renverser. Peps 16 novembre 2006 à 21:25 (CET)

Non, l'image est correcte, pas besoin de la renverser, il suffit de remplacer le texte à moins que ça soit l'inverse ... C'est renversant et réversible, je ne sais plus trop mais qu'est-ce que je dis ?

attention le haut et le bas ça a un sens clair mais "la" coordonnée horizontale y en aura toujours pour la lire à de travers (ou alors il faut une flèche). Option 2 : demander au lecteur de tourner l'écran de 90 degrés.

Peu importe de quelle coordonnee horizontale on parle : il y a une symetrie de revolution. Les gens comprendront ce qu'ils voudront bien comprendre ... Ektoplastor.

Typique du raisonnement de matheux : pour toi il est évident que c'est sans incidence, soit. Pour le malheureux lecteur un choix de convention ou d'orientation peut suffire à perturber la lecture. Donc puisque tu t'en fiches et que moi j'y attache de l'importance, je viens de changer l'image pour qu'elle soit adaptéer au texte. Ceci devrait nous contenter tous les deux, non ?

• L'exemple du tore n'est pas l'exemple le plus simple. En fait c'est la sphere, mais cet exemple n'a aucun interet. Puis vient non pas le tore, mais le pantalon que tu (peps) connais forcement. On voit bien ce qui se passe au passage d'un point critique. On peut aussi insister au passage que la theorie de Morse n'est pas inutile dans le theoreme du h-cobordisme.

Je vois le plan suivant :

1. Point critique d'une fonction de Morse
   1. Indice d'un point critique
   2. L'exemple du pantalon
   3. Generalisation en dimension superieure
2. Theoreme du h-cobordisme
3. Homologie de Morse
   1. Par hypersurface de niveau
   2. Par variete stable

N'oublions pas qu'il y a une cat correspondante, et qu'on peut developper certains aspects de la theorie de Morse dans des articles plus complets. L'exemple du tore peut etre repris dans un article Application hauteur sur le tore.

Ektoplastor, le 16 novembre 2006, 00:36 CEST.

l'exemple du tore me semble un des premiers exemples compacts intéressants, car pour les variétés non compactes ou à bord il y a plein de chausse trappes. En outre l'intérêt c'est

• d'y voir le premier exemple non trivial (sphère : bof !) de reconstruction d'une variété

OK, un point.

ben c'est LE point fondamental, montrer sur un exemple simple à quoi sert la théorie non ?

• qu'il y a justement des points critiques de chaque indice, ce qui fait toucher du doigt la "règle" de reconstruction ren fonction de l'indice

Non, c'est moins facile de voir en dimension superieure (sauf pour les topologistes, les géomètres différentiels, ...). Le pantalon reflète en réalité le passage d'un point critique (remplacement d'un S(k-1) x D(n-k) par D(k) x S(n-k-1) ).

oui mais là je parle du pantalon dessinable ! avec le tore tout se voit sur le dessin.

Et alors ? Un cobordisme entre un cercle et deux cercles est-il moins visuel ?

Je parle des "pantalons en toute dimension" : le tore j'ai fait un dessin avec chaque indice 1,2,3. Avec le pantalon rien de tel, ou alors je veux voir le dessin (qui ne ressemblera guère à un pantalon, pour le lecteur, once again).

• de permettre aussi la formulation en termes de variétés stables et instables, ce que la jambe de pantalon illustre mal

Pas faux.

Bref ça me semble un bon exemple de présentation général. Ce n'est pas un cours : l'article "général" de la catégorie théorie de Morse doit montrer un peu la variété des situations, sans rentrer dans les détails, plutôt que se cantonner aux cas "triviaux" et de donner une fausse idée de la théorie.

Bas, dans ce cas, j'aime bien l'exemple de la sphere un peu tordue (avec trois maximums, deux minimums). L'exemple du tore a ses limite : l'unique maximum (minimum) est un maximum (minimum) global.

ça pourrait être pas mal. Mais l'exemple parle moins : tore = pneu ; Pneu en position verticale -> ça a un sens clair et les mecs peuvent prendre un pneu et expérimenter :). Ta sphère tordue semble un exemple fait exprès, rien que pour embêter le lecteur ? et c'est plus long à écrire et à lire...

Es-tu au courant que les matheux passent pour des anti-féministes ? En te lisant, je penses que tu donnes raison à tous ceux qui le disent ... . Je préfère les pantalons (c'est plus sexuellement neutre qu'un tore).

tu veux que je l'appelle cerceau ou alors pneu-cerceau. Alors après toi avec ton pantalon-e-s tu peux aller te rhabiller

Il me semble que les "points critiques d'une fonction de Morse" n'ont pas d'intérêt en tant que tels : il faut en parler dans point critique (mathématiques), en ouvrant des paragraphes sur les points critiques non dégénérés (y compris sur les variétés).

Ben si, comprendre le comportement d'une fonction au voisinage d'un point critique est le point de départ de la théorie de Morse. Ensuite, c'est un jeu d'enfant (j'exagère un peu).

oui mais qu'une fonction soit de Morse est une déf globale pour un machin qui peut tout à fait s'étudier localement (le point critique non dégénéré). La théorie de Morse ne parle pas que des fonctions de Morse après tout. Donc je séparerais : étude locale (par exemple dans un article coordonnées de Morse ? ou point critique non dégénéré ?) et globale : fonction de Morse.

Si la definition est globale, l'etude est en premier lieu locale. Pour comprendre comment varie la topologie des hypersurfaces de niveau, il suffit de comprendre ce qui se passe au voisinage d'un pooint critique. Pour voir que les varietes stable et instable sont des varietes, il suffit de le faire au voisinage des points critiques correspondants. Pour comprendre la topologie de leur compactification et voir apparaitre des structures de CW-complexes, il suffit d'étudier localement ce qui se passe en un point critique, car c'est en ces points que surgissent les difficultés. Etc, etc, etc, ...

ce qui prouve my point : ce n'est pas d'abord la fonction de Morse que tu regardes mais l'étude locale des points critiques non dégénérés.

en plus pas besoin de fonction de Morse pour écrire les théorèmes "jambe de pantalon" et "ajout d'un point critique" ; c'est pourquoi je garderais le début de plan actuel en le continuant ainsi

1. Le principe général (sur un exemple)
   1. Reconstruction d'un tore
   2. Description des sous-niveaux successifs
   3. Règles de reconstruction
2. Formalisation de la théorie
   1. Fonctions de Morse
   2. Lyusternik–Schnirelmann ??
3. Homologie de Morse
   1. Par hypersurface de niveau
   2. Par variete stable
   3. blabla sur homologie de Floer ? (hors de mes cordes)
4. Theoreme du h-cobordisme

Peps 16 novembre 2006 à 21:23 (CET)

N'oublie pas qu'il y a d'autres articles ! Le blabla sur l'homologie de Floer L'ouverture vers les théories analogues de l'homologie de Morse en topologie symplectique se fait seulement dans l'article homologie de Morse. Ektoplastor, qui préfère son plan ...

c'est pourquoi je mettais un point d'interrogation : le blabla en gros se contenterait de mentionner que ça existe, en quoi c'est une généralisation, et que c'est pas si facile à piger. Mais à le réflexion, ça serait mieux dans homologie de Morse en effet.

Cela dit je continue à penser que l'article central de la catégorie doit avoir deux caractéristiques

* commencer à faire comprendre les enjeux en regardant un exemple ni simpliste ni trop compliqué (c'est pourquoi je pensais au tore)

* une fois cet exemple un peu décrit, faire un tour d'horizon du domaine, en parlant un peu de tout, mais pas à fond, sans détail, le minimum de jargon, et des formulations correctes mais qui n'ont pas besoin d'être aussi précises que dans les zarticles détaillés Peps 17 novembre 2006 à 14:21 (CET)

Non, l'exemple est vraiment superflu. Je ne vois pas ce qu'il apporte reellement ... C'est surtout ca le probleme. Le pantalon permet de visualiser comment la topologie des hypersurfaces change, et c'est vraiment par ça qu'il faut commencer !!! Ektoplastor.

puisque tu trouves l'exemple superflu et moi non, yaka le garder dans un premier temps, rédiger le reste de l'article et demander à ce moment à des gentils lecteurs bénévoles non géomètres différentiels s'ils préfèrent qu'on le vire ou non. Peps 17 novembre 2006 à 21:38 (CET)

tiens et puis si tu vois quelque part sur wikipédia un dessin pour illustrer la "jambe de pantalon" seule (cas sans point critique), voire "deux jambes de pantalon parallèles" ce serait pas mal. Je n'ai pas trouvé à tube, et le dessin du cylindre est trop particulier. Peps 17 novembre 2006 à 21:46 (CET)

indices décroissants ??

ce n'est pourtant pas vrai pour toute fonction de Morse ? il faut supposer en plus la transversalité des variétés stables et instables, ce qui n'est pas vrai en général me semble-t-il. Peps 17 novembre 2006 à 22:18 (CET)

Oui, j'ai ete trop vite. J'ai seulement ajoute une mention hypothese de genericite sans trop preciser de quoi il s'agit, mais tu as parfaitement raison ...

OK

et puis tu parles de mention prématurée du gradient alors qu'on parle de "suivre les lignes de gradient" ? d'ailleurs là aussi pour le pékin moyen, entre le gradient et la différentielle, quel est le plus simple ...? Peps 17 novembre 2006 à 22:21 (CET)

Non, la tu as tort. 1) La définition de point critique, de hessienne en un point critique et de non dégénérescence ne font pas appel a l'utilisation d'une métrique riemannienne, il était prémature de l'introduire ici, il suffit de l'introduire deux lignes plus loin (comment ça, j'exagère ?). 2) Le résultat concerné par le paragraphe (topologie des hypersurfaces) n'est pas concerné par la métrique riemannienne, seule sa démonstration en fait appel en apparence (tu peux remplacer la métrique par un champ X tel que X(f) ne s'annule pas ...). 3) Le pékin moyen n'a peu de chance de lire cet article et sera arrêté par le mot variété ; il passera par la case variété (géométrie) sans toucher sa paye, et devra passer trois tours. 4) La notion de différentielle est connue avant la notion de vecteur gradient (en dimension finie, sur Rn). 5) Définir la hessienne avec une métrique demande une connaissance des outils de géométrie différentielle ; définir sans demande une connaissance des formes quadratiques. Ektoplastor, le 17 nov 2006, 23:08 CEST.

oué je sais bien ce qui relève du riemannien et du différentiel pur. Mais pour moi le public immédiatement connexe aux gens qui savent déjà c'est par exemple les physiciens. Ils peuvent avoir une conception des variétés (je ne cherche pas à savoir comment ils les conçoivent, mais leurs variétés sont « naturellement » riemanniennes j'ai l'impression), et pour eux les gradients sont les objets de base, pas les différentielles (avec là aussi leur « définition » maison : truc qui flèche dans le sens des hypersurfaces de niveau croissantes). Les maths ont su formaliser le tout de façon jolie, mais suivre un ordre de type cours de maths prive peut être des images mentales les + simples. Enfin c'est discutable...

C'est encore plus discutable dans la mesure ou les physiciens se placent dans des cartes locales. Donc, un point critique, c'est un point en lequel les derivees partielles s'annulent, et cette condition est invariante par actions de diffeos. S'ils veulent definir une hessienne en un point critique, ils le feront essentiellement comme je l'ai fait sur fonction de Morse ! Ektoplastor, le 18 novembre 2006, 00:24 CEST.

Genericite des fonctions de Morse

Oui, c'est aussi vrai pour k=2, mais sur le moment, j'ai eu un doute ...Par contre, c'est faux pour k<2 :). Ektoplastor, le 17 novembre 2006, 23:12 CEST.

Notamment pour k=-1... a-t-on des articles sur les dérivées à exposant réels ?

j'ai trouvé cet article (moche) Dérivées fractionnaires

C'est vrai qu'il est tout moche cet article ... Remarque, avant de poser la question sur les entiers negatifs, tu aurais pu poser la question sur les reels positifs (C^{k+r} avec 0<r<1). Ektoplastor, le 18 novembre 2006, 00:28 CEST.

Est-ce un ensemble ?

(Au passage : quel dommage que ces deux valeureux contributeurs - comme d'autres - "nous" aient quittés ! ) Question bête : "l'ensemble des variétés différentielles de dimension n", même " à difféomorphisme près", est-il vraiment un ensemble ? Anne Bauval (d) 17 septembre 2010 à 20:25 (CEST)