Discussion:Théorème de la base incomplète

démonstrations

Les boites déroulantes pour les démonstrations sont-elles bien utiles dans un tel article qui ne devrait pas être très développé (très mineur je suppose que le théorème est cité ailleurs) ? Proz (d) 8 novembre 2009 à 15:25 (CET)

notion de dimension

"ce théorème conduit à la notion de dimension" me semble un peu fort. La notion de dimension est le cardinal commun de toutes les bases, encore faut il le prouver : dans le cas fini, on peut mettre en place un pivot de Gauss et sinon c'est un truc qui doit s'appeler "lemme d'échange" je crois. L'article ne fais pas assez ressortir le rôle du corps : le Z-module Z/nZ n'a pas de base. Alexandre alexandre (d) 31 août 2010 à 13:08 (CEST)

Je suis d'accord ; j'ai fait des modifs en ce sens, ici et dans des articles connexes. Anne Bauval (d) 2 septembre 2010 à 13:01 (CEST)

Seconde "application"

J'aime encore moins la seconde application de cette modif que la "conséquence contre-intuitive" qu'elle était censée remplacer. D'abord, pour pouvoir dire "si r et s appartiennent à A alors r-s est irrationnel" il faut avoir pris pas n'importe quelle base de R sur Q, mais une base contenant un rationnel (disons : 1), et alors c'est vrai seulement pour r et s distincts. Mais surtout, pour montrer que A n'est pas mesurable, je ne vois pas plus simple que de d'engendrer à partir A\{1} un supplémentaire de Q (donc de se ramener à la "conséquence contre-intuitive" supprimée) qui serait, sinon, mesurable aussi, puis de se ramener (par une application mesurable) à un ensemble de Vitali. Bref, parler de non-mesurabilité comme appli du théo de la base incomplète (au lieu de "juste" l'axiome du choix) me semble artificiel. Anne Bauval (d) 2 septembre 2010 à 16:48 (CEST)

je suis d'accord avec toi, je viens d'essayer de calquer la démo usuelle : on peut facilement supposer que notre Q-base contient 1 et que des éléments dans [0,1]. De la on voit que si elle est mesurable c'est nécessairement de mesure nulle (le coup des translatés rationnels-bornés qui ne se rencontrent pas) mais ca me semble plus difficile de montrer que cette union contient à coup sur un morceau de mesure strictment positive... et en même temps ca me semble aussi difficile d'exhiber une Q-base mesurable. Faudrait effectivement demander à celui qui a écrit ça s'il est sûr de lui ou s'il a effectivement confondu avec l'ensemble de Vitali (tu viens de m'en apprendre le nom !). A défaut, je serais partisan d'enlever ce passage. Alexandre alexandre (d) 2 septembre 2010 à 17:18 (CEST)

Effectivement, cette tentative de preuve directe n'a pas l'air viable (alors que la mienne - plus sinueuse - montre que toute Q-base contenant un rationnel est non-mesurable).

Nefbor Udofix ne contribue apparemment plus, mais Mû si (enfin ... de temps en temps). À mon avis mieux vaut soit tout virer, soit remettre (+/-) sa version. Refilons-lui le bébé et patientons ?

Moi non plus je ne connaissais pas ce nom (ensemble de Vitali) : je l'ai trouvé en posant le lien Lebesgue-mesurable.

Anne Bauval (d) 2 septembre 2010 à 20:41 (CEST)

Apparemment Mû a réagi, mais ça ne répond pas du tout à nos doutes. Anne Bauval (d) 10 mars 2011 à 10:39 (CET)

Effectivement...Alexandre alexandre (d) 10 mars 2011 à 19:25 (CET)

Je suis plus que d'accord avec vos réserves. En fait j'ai été intrigué en lisant ce paragraphe. Après avoir vainement essayé de montrer la non-mesurabilité, mon collègue doctorant a réussi à me fabriquer un exemple de $\mathbb {Q}$-base de $\mathbb {R}$ qui est négligeable. Le résultat énoncé est donc faux!! A titre informatif, voici l'argument : par le lemme de Zorn, il existe une partie $\mathbb {Q}$-libre $A$ dans l'espace triadique de Cantor $K$ telle que $\mathrm {Vect} (A)$ contienne $K$. Or $[0,1]\subset K+K/2$. Il s'ensuit que $\mathrm {Vect} (A)=\mathbb {R}$. Je me permets d'ajouter que je trouve ça assez scandaleux d'écrire des résultats faux dans Wikipédia, la moindre des choses serait de vérifier ses affirmations. --Seub (d) 12 avril 2011 à 13:53 (CEST)

Tu as bien fait, la modif de Nefbor Udofix était fausse (ainsi que la 1^e partie "si A est mesurable alors Vect(A) aussi" de mon "raisonnement" ci-dessus), comme le prouve ton argument ([0,1] n'est pas inclus dans K+K/2 mais peu importe : K est générateur donc on peut en extraire une base). La version antérieure de Mû (et la 2^e partie de mon raisonnement), elle, était correcte je crois, mais je ne plaide pas pour qu'on la remette sans source. Anne Bauval (d) 27 juin 2011 à 12:15 (CEST)