Ensemble de Vitali

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L'ensemble de Vitali est un exemple simple de partie non mesurable de la droite réelle, découvert en 1905 par le mathématicien Giuseppe Vitali. L'axiome du choix joue un rôle essentiel dans sa construction.

Les ensembles de Vitali[modifier | modifier le code]

Chaque classe d'équivalence élément de l'ensemble quotient ℝ/ℚ rencontre l'intervalle unité [0,1] : l'axiome du choix assure donc l'existence d'une partie V de [0,1] qui contienne un et un seul représentant de chaque classe de réels modulo ℚ.

On appellera ensemble de Vitali tout ensemble ayant cette forme.

Les ensembles de Vitali ne sont pas mesurables au sens de Lebesgue et ne vérifient pas la propriété de Baire.

Preuve de la non-mesurabilité[modifier | modifier le code]

Supposons par l'absurde V mesurable. On considère l'ensemble :

A=\bigcup_{{r\in \mathbb{Q}}\atop{-1\leq r\leq 1}}(V+r) \;\subset [-1,2]

formé par la réunion de certains translatés de V. A est mesurable en tant que réunion dénombrable d'ensembles mesurables.

On remarque que cette réunion est formée d'ensembles deux à deux disjoints puisque V ne contient qu'un réel par classe d'équivalence modulo ℚ. La mesure de Lebesgue de A est donc la somme infinie dénombrable de celle de V ; puisqu'elle est inférieure à 3, cela oblige les mesures de V et de A à être nulles.

On observe pourtant que [0,1] est inclus dans A. En effet, par définition de V, tout réel x de [0,1] est congru modulo ℚ à un élément y de V ; ceci signifie que x-y appartient à ℚ. De plus, comme x et y sont tous deux dans [0,1], -1≤ x-y≤ 1 donc x, qui est dans le translaté V+(x-y), est élément de A. Un ensemble de mesure nulle contenant [0,1] fournit une contradiction.

Références[modifier | modifier le code]

  • (it) Giuseppe Vitali, « Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta », Tip. Gamberini e Parmeggiani,‎ 1905
  • (en) Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer,‎ 2006, p. 120.
  • (en) Lev Bukovský (sk), The Structure of the Real Line, Springer,‎ 2011 (ISBN 9783034800051), 259

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Steinhaus