Discussion:Sommation par parties

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Je n'ai pas de contre-exemple en tête mais il est clair que les hypothèses actuelles ne suffisent pas, car pour a_n=1 ça donnerait : si le terme général b_n d'une série tend vers 0 et si ses sommes partielles sont bornées alors elle converge ( ! ) je modifie. Anne Bauval (d) 18 décembre 2010 à 14:08 (CET)

Majoration erronée pour $n_{0}\neq 0$, remplacer par $2M$

Il est écrit après l'énoncé du théorème d'Abel que $\left|\sum _{n={n_{0}}}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leqslant M\sum _{n\geqslant n_{0}}|a_{n+1}-a_{n}|$ pour tout majorant M des |B_n|.

C'est juste pour $n_{0}=0$, mais je pense que c'est faux en général sinon, et qu'il faudrait remplacer $M$ par $2M$, c'est-à-dire que pour tout $n_{0}>0$, $\left|\sum _{n={n_{0}}}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leqslant 2M\sum _{n\geqslant n_{0}}|a_{n+1}-a_{n}|$.

Contre-exemple : $a_{n}=b_{n}=0$ pour $n\geq 2$, $b_{0}=-1$, $b_{1}=2$. Alors $M=1$, et l'égalité appliquée à $n_{0}=1$ s'écrit $\vert 2a_{1}\vert \leq \vert a_{1}\vert$, ce qui est évidemment faux en général. Wiwipedium (discuter) 8 octobre 2023 à 09:26 (CEST)

Ou pour avoir plus fin, remplacer $M$ par $M_{n_{0}}=\sup _{n\geq n_{0}}\vert \sum _{k=n_{0}}^{n}b_{k}\vert \leq 2M$. Wiwipedium (discuter) 8 octobre 2023 à 09:42 (CEST)

Vous avez raison, la correction est elle correcte ? Robert FERREOL (discuter) 8 octobre 2023 à 11:26 (CEST)

La correction me semble correcte, merci de l'avoir fait Wiwipedium (discuter) 16 octobre 2023 à 00:45 (CEST)