Discussion:Racine d'un polynôme

proposition de plan

• définition d'une racine d'un polynôme
• Exemples montrant que les racines dépendent du corps au dessus duquel on se place
• Racine et divisibilité
• Racines multiples
• Nombre de racines
• Existence de racines, D'Alembert-Gauss

Oxyde (d) 23 janvier 2008 à 13:41 (CET)

Petites différences

J'ai essentiellement repris les idées du plan d'Oxyde. Une autre m'a semblé intéressante. Le vocabulaire associé à la racine d'un polynôme est issu de l'algèbre et non de l'analyse. Par exemple, pour le polynôme P égal à (x² + 1)(x² - 2), on ne dira pas la fonction polynôme définie sur les complexes admet 4 racines, mais plutôt le polynôme P à coefficients dans les entiers admet 2 racines réelles et 4 racines complexes. Jean-Luc W (d) 27 décembre 2008 à 14:44 (CET)

Équivalence des définitions d'une racine

Bonjour,

Il est dit dans l'article, qu'en allant se référer à l'article polynôme formel, on trouve la justification de l'équivalence: «On dit que a est une racine de P lorsque P(a)=0 si et seulement si X-a|P». Je mets mon énoncé entre guillemet, je ne cite pas l'article.

Je suis allé voir, et, malheureusement, j'ai cru comprendre que la justification de l'équivalence fait appel à la division euclidienne, qui, si j'ai bien compris (et je n'en suis pas sûr), n'existe pas lorsque l'ensemble de travail pour les coefficients du polynôme n'est pas un corps.

Avons nous donc toujours P(a)=0 si et seulement si X-a|P lorsque P est un polynôme à coefficients dans un anneau qui n'est pas un corps ? Voire pire, qui n'est pas intègre ?

Merci beaucoup.--ByteMe666 (discuter) 8 janvier 2018 à 03:01 (CET)

D'abord, merci d'avoir soulevé ce lièvre, l'article polynôme formel étant en fait un article d'introduction, qui ne permet nullement de comprendre cette question. Mais de fait, il n'y a pas d'erreur : dans tout anneau (commutatif) A, on a bien l'équivalence, car la division euclidienne (en effet impossible en général) fonctionne, le polynôme X-a étant unitaire (on le voit facilement en calquant l'algorithme classique : cX^n+R=cX^(n-1)(X-a)+R+acX^(n-1), R+acX^(n-1) est de degré ≤ n-1, et on conclut par récurrence descendante).--Dfeldmann (discuter) 8 janvier 2018 à 04:38 (CET)

Merci pour votre réponse. Je suis un modeste mathématicien, alors je vais détailler ce que vous venez d'expliquer pour voir si j'ai bien compris votre réponse: Vous écrivez qu'un polynôme P de degré n, et de coefficient dominant c s'écrit P=cXⁿ+R avec R de degré <n. Ensuite, par des écritures qui ont recours aux propriétés de groupe additif (existence d'un inverse pour +) et non pas aux propriétés de corps, vous donnez une expression analogue à la division euclidienne, où cette fois le reste est de forme R+acX^n-1. Une remarque au passage: cela ressemble d'ailleurs à la division selon les puissances croissantes, sujet que je ne maîtrise pas du tout mais dont j'ai survolé l'article en essayant de trouver moi même la réponse.

Vous dites donc que pour conclure, on peut répéter cette opération de mise en facteur de (X-a) avec R+acX^n-1 qui est de degré <n, ce qui va permettre d'aboutir à une somme de termes avec X-a mis en facteur, et une constante (par récurrence descendante comme vous dites), ce qui prouve l'équivalence «P(a)=0 si et seulement si X-a|P».

Ai-je donc bien compris la preuve ?--ByteMe666 (discuter) 8 janvier 2018 à 13:50 (CET)

Tout à fait. Formellement, on préfère souvent (mais c'est plus des manies de prof qu'un vrai souci de rigueur) rédiger en récurrence classique : on suppose que la propriété est vraie pour tous les polynômes de degré < n ; l'argument donné montre alors qu'elle est également vraie pour les polynômes de degré n, et on conclut par récurrence (forte). Cela dit, c'est en fait une réécriture de l'algorithme classique de division euclidienne (des polynômes) ; la division par puissance croissante peut s'y ramener soit par le changement de variable X=1/Y, soit en remplaçant les degrés des polynômes par leurs valuations (leurs ordres d'annulation en 0).--Dfeldmann (discuter) 8 janvier 2018 à 19:37 (CET)

D'accord, bien que j'ai compris ce que vous avez dit sur la division par puissance croissante pouvant se ramener à la division euclidienne, je serais bien incapable de le détailler, mais je vous crois sur parole. Je crains être encore trop néophyte pour bien comprendre la remarque sur les valuations, mais je le garde dans un coin de mon esprit pour mes lectures ultérieures. La conclusion à retenir (à mon niveau en tous cas) de notre discussion pourrait-elle être que la division euclidienne marche toujours lorsqu'on divise par un polynôme de degré 1 ? Je n'y ai pas encore beaucoup réfléchi, mais j'imagine que la méthode que vous m'avez montrée ne marche plus dès qu'on tente de diviser par un polynôme de degré supérieur ou égal à 2. --ByteMe666 (discuter) 8 janvier 2018 à 21:00 (CET)

Non, ça n’a rien à voir avec une question de degré : la division euclidienne de P par Q est possible dans A[X] si le coefficient dominant de Q est inversible dans A, et en particulier si Q est unitaire.—Dfeldmann (discuter) 8 janvier 2018 à 21:31 (CET)

Effectivement, je parcours dans mon esprit la démonstration par récurrence de la division euclidienne pour les polynômes à coefficients dans un corps, et il me semble bien que la seule condition cruciale pour réussir l'hérédité soit celle que vous venez d'énoncer: l'inversibilité du coefficient dominant de Q. Je ne vais pas poser d'avantages de questions, sans quoi cette conversation va beaucoup s'étendre, je pense que je peux méditer les conséquences de ce résultat dans mes propres lectures. Je crois qu'avec votre dernière réponse, cette discussion a bien clarifié le point que j'ai soulevé au début. Je vous remercie d'avoir éclairé ma lanterne, et j'espère que ce que nous venons de dire là contribuera à l'amélioration des articles Wikipédia! Merci beaucoup.--ByteMe666 (discuter) 9 janvier 2018 à 14:58 (CET)