Discussion:Groupe de Mathieu

k-transitif "brusque"

On lit dans l'article :

"Un tel groupe est appelé k-transitif brusque si l'élément g est unique (i.e. l'action sur les k-uplets est régulier, plutôt que juste transitif)."

J'avoue que je n'ai lu sur ces groupes que de la littérature anglo-saxonne, où on dit "sharply k-transitive". Jacques Tits, "Groupes finis simples sporadiques" (Séminaire Bourbaki, 22^e année, 1969/70, n° 375), section 1.2.3, p. 191, dit "fortement n fois transitif". Voyez en ligne.

Ne serait-il pas bon de signaler l'expression "fortement n fois transitif", éventuellement avec référence à l'article de Tits ? Et, tant qu'on y est, de donner une référence pour l'expression "k-transitif brusque" ?
Marvoir (d) 7 février 2009 à 18:06 (CET)

Une erreur ?

J'avais pensé transférer la section "Groupes multiplement transitifs" de cet article vers l'article Action de groupe (mathématiques), comme convenu sur la page Discussion:Action de groupe (mathématiques), mais je suis mis mal à l'aise par la phrase suivante : "Il résulte de la classification des groupes simples finis que les seuls groupes qui sont k-transitifs pour k au moins égal à 4 sont les groupes symétrique et alterné (de degré k et k-2 respectivement) et les groupes de Mathieu M24, M23 , M12 et M11." La parenthèse "(de degré k et k-2 respectivement)" me semble forcément erronée, car, par exemple, tout groupe symétrique de degré > k est lui aussi k-transitif. J'imagine que l'énoncé correct est celui-ci : "Il résulte de la classification des groupes simples finis que les seuls groupes qui sont k-transitifs pour k au moins égal à 4 sont les groupes symétrique et alterné (de degré $\ \geq k$ et $\ \geq k-2$ respectivement) et les groupes de Mathieu M24, M23 , M12 et M11." Malheureusement, je ne connais pas cette question. En tout cas, il serait bon de sourcer. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd. tirage de 1999, p. 252, donne (sous forme équivalente) l'énoncé tel que je l'ai corrigé, mais il mentionne seulement "quatre des groupes de Mathieu", sans préciser lesquels. W.R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover 1987, p. 268, qui date d'avant la classification des groupes simples finis, dit (un peu bizarrement, car il s'exprime comme si un groupe 5-transitif n'était pas 4-transitif) : "Other than the symmetric and alternating groups, no finite 6-transitive group is known. There are two known 5-transitive groups, the Mathieu groups M₁₂ and M₂₄ of degrees 12 and 24, respectively. There are two known 4-transitive groups, the Mathieu groups M₁₁ and M₂₃ (...)." De Rotman et Scott conjoints, il résulte que la phrase de notre article, telle que je l'ai corrigée, est correcte, sauf que ni Scott, bien sûr, ni Rotman, ne dit qu'elle résulte de la classification des groupes simples finis. Il vaudrait évidemment mieux avoir une référence correspondant exactement à la phrase de l'article (corrigée). Marvoir (d) 3 mars 2012 à 10:44 (CET)

Moi aussi j'avais tiqué, sans oser corriger non plus (justement par la phrase que tu proposes), surtout que contrairement à toi je n'ai ni connaissances ni sources. Je remarque de plus aujourd'hui que depuis cette traduction, le k-2 est devenu k+2 dans l'article en anglais (et idem dans la phrase suivante). Anne (d) 3 mars 2012 à 11:38 (CET)

Hé hé... C'est vrai, il faut k + 2... Marvoir (d) 3 mars 2012 à 12:52 (CET)

Je farfouille sur internet. Pour l'instant j'ai stackexchange (où Derek Holt dit à la fin qu'effectivement, ça se ramène à la classification des groupes simples finis et au théorème d'O'Nan-Scott) + MathOverflow. Anne (d) 3 mars 2012 à 14:55 (CET)

Pour les 5-transitifs, j'ai « M12 and M24 are the only 5-transitive permutation groups other than symmetric and alternating groups: (a fact long conjectured but only proved as a consequence of the classification) ».

Voir aussi en:2-transitive group+Rotman p. 286

Plus précisément lié à la question initiale : « It was a spectacular consequence of CDT, and hence of CT, that other than the alternating and symmetric groups, the four Mathieu groups M₁₁, M₁₂, M₂₃, M₂₄ are the only 4-transitive permutation groups. » p. 152 de (en) Shreeram S. Abhyankar, « Resolution of singularities and modular Galois theory », Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), vol. 38, n^o 2,‎ 2001, p. 131-169 (lire en ligne)

Tout ça me dépasse, donc à toi de jouer ! tu peux bien sûr copier coller le truc ci-dessus où tu veux Anne (d) 3 mars 2012 à 16:10 (CET)

Très bien. La dernière référence que tu donnes me semble convenir parfaitement. Et par parenthèse, il me semble préférable de parler de 4-transitivité plutôt que de s'encombrer de "k-transitivité pour k au moins égal à 4". Je vais mettre la référence dans l'article. Marvoir (d) 3 mars 2012 à 17:36 (CET)

Bon, ben maintenant tu peux améliorer aussi la suite et transférer dans Action de groupe (mathématiques), non ? Anne (d) 6 mars 2012 à 23:10 (CET)