Discussion:Forme différentielle

Je m'interroge sur la phrase suivante :

"En géométrie différentielle, une forme différentielle de degré k est une section de classe \mathcal C^\infty de la ke puissance extérieure du fibré contangent d'une variété. En tout point p d'une variété, une k-forme est une application multilinéaire de la ke puissance cartésienne de l'espace tangent à p vers \mathbb R. La k-forme est un tenseur covariant antisymétrique."

Je ne suis pas sûr d'être d'accord. Je sais ce qu'est la k-ième puissance extérieure d'un espace vectoriel, mais pas d'un fibré en général. Pour moi, il y a une confusion dans l'ordre des choses : il faut d'abord prendre la k-ième puissance extérieure de l'espace cotangent, puis prendre le fibré de ces puissances extérieures. la formulation actuelle pose également le problème suivant : parler de section de "la k-ième puissance extérieure du fibré cotangent" suppose que cette k-ième puissance est un fibré, ce qui ne me paraît pas être le cas (c'est impossible de définir la projection canonique Tamamanquitaime 18 mars 2006 à 19:01

Retravailler l'article ?

Bonjour,

1) Pour répondre au message précédent, la k-ième puissance extérieure d'un fibré vectoriel est bien définie.

2) Il faut arriver à simplifier la définition ... Apparemment, tout le monde n'est pas à l'aise avec les fibrés vectoriels. Grosso modo, une forme différentielle est une famille d'applications multilinéaires avec dépendance du point de base. Puis on dit ce que c'est pour un ouvert, et on explicite l'écriture en coordonnées locales. Là il nous faut des exemples simples : par exemple $d\theta$ en coordonnées sphériques. On donne dans un deuxième temps la définition formelle. L'intégration d'une forme différentielle est à remporter dans un autre article. La différentielle extérieure fait l'objet d'un article.

3) Généraliser le concept de formes différentielles : formes différentielles E-valuées ...

4) Citer plus de références et mettre des liens externes.

Ektoplastor

Je suis content que tu proposes un plan d'attaque sur ce chantier. Les sections de fibré vectoriel font effectivement un peu trop emphatique pour démarrer. Il vaut mieux se concentrer sur le changement de carte et introduire le pullback.

Mais il me semble que ça pourrait être bien de parler de formes différentielles d'ordre 1 dans un premier article ? Elles sont une bonne porte d'entrée, et intéressantes en soi

Peps 22 juillet 2006 à 11:46

Oui c'est une bonne idée de commencer pr les formes de degré 1 deux raisons au moins :

1) l'intégrale curviligne est facile à définir et on voit bien que c'est plus naturel que la "circulation d'un champ de vecteurs" qui elle nécessite un produit scalaire

2) la question des formes fermées et exactes se discute aussi assez bien Jaclaf 19 décembre 2006 à 13:37

PS Même si l'option de reporter l'intégratin des f d à un autre aticle peut se discuter, il faut au moins l'évoquer, c'est quand même leur principale raison d'être

Faire le ménage

Je commence par l'introduction. Ekto - Plastor 9 mai 2007 à 14:42

où s'k on va ?

(conflit de modifs)

Voilà la liste des configurations de lecteurs que je vois

• le lecteur curieux avec une bonne culture en maths géné mais pas en géo diff, qui aime savoir à quoi ça sert (pour lui faudrait écrire des choses dans le style : variété (géométrie), en un peu plus technique mais pas trop).
• le gars capable de piger le corpus analytique de base en degré 1 mais qui ne connaît pas le calcul extérieur (ex typique les élèves de niveau prépa), qui lui semble assez indigeste
• le gars qui accepte de se farcir le calcul extérieur et de tout piger comme il faut, du moment qu'on ne lui parle pas d'entrée de jeu de section de fibrés.
• le gars déjà au courant, qui voudrait aller vite vers des thèmes avancés

Ca va être dur de tenir compte de tout ce monde ! En tout cas, stationner longtemps sur les déf de base sans parler des applications genre cohomologie c'est pas terrible.

Peut être qu'on pourrait faire

• un article "de base" forme différentielle de degré un (définies sur un ouvert), ça permet d'introduire le début de la cohomologie de de Rham
• un article généraliste avec un formulaire/boîte à outils rapide et décrivant surtout l'utilité des formes diff
• un article technique détaillant plus soigneusement l'introduction des formes diff ? Peps 9 mai 2007 à 14:52

Je précise que sur le thème, on dispose aussi de Calcul différentiel extérieur qui est excellent pour lister les formules sans encombrer les articles principaux.

Dans tout cet article, je ne saouhaite parler que de formes différentielles à valeurs réelles. Seule une dernière partie pourrait donner des renseignements sur les formes à valeurs dans un fibré muni d'une connexion (eh eh).

Je connais peu d'éléments historiques sur le sujet.

On peut faire du trois en un ? Ekto - Plastor 9 mai 2007 à 14:57

oui il faut retravailler cet article

Je suis un peu contrarié de voir que beaucoup d'articles de geo;diff (celui-ci, dérivée de Lie, théorème de Stokes démarrent billes en tête en se plaçant dans une variété, alors qu'il n'est déjà pas si facile d'avaler ces notions dans le cas des ouverts de Rn, et que ce dernier cas est déjà utile et intéressant Jaclaf (d) 28 janvier 2013 à 17:47

 Jaclaf : je suis d'accord, j'ai un bon niveau en maths et pourtant je galère à essayer de comprendre tous ces articles (et l'équation d'Einstein) donc je n'ose imaginer pour ceux qui n'y connaissent presque rien. parfois je pense qu'il faudrait arrêter d'être rigoureux et juste donner des exemples : regarde l'objet mathématique dont on parle il est tout bête, exemple avec la sphère de R^3, et ne pas laisser ceux qui maîtrisent déjà (trop) le sujet faire les explications qui sont assez hermétiques pour les nouveaux... donc en théorie comprendre le principe de forme linéaire sur un E.V. devrait permettre immédiatement de comprendre le principe de forme différentielle, une fois qu'on a compris que la sphère de R^3 pouvait être découpée en morceaux qui chacun peut être mis en bijection avec un ouvert de R^3, et que donc les concepts des E.V. s'étendent "naturellement" aux variétés (riemanniennes, différentielles). les profs devraient comprendre que les cas où l'E.V. n'est pas sur R (ou C à la rigueur) n'intéressent virtuellement personne, en tout cas moins de 1% des gens qui viennent sur ce genre de page. 78.227.78.135 (discuter) 27 septembre 2015 à 00:57

Intégration des formes

Ce § est quasi-vide : il ne contient que la dernière scorie de l'article initial, créé en 2005 par traduction de l'anglais. La VO n'a guère avancé depuis. On peut intégrer les formes sur des tas de choses (voir [1], [2], Spivak, Lafontaine…) et les liens logiques entre tout ça sont flous pour moi (qui est un cas particulier de qui ? comment passe-t-on de l'un à l'autre ?). Je n'ai pas le Rudin invoqué par la VO mais je me suis permis de préciser que son S doit être un ouvert d'une variété orientée de dimension k plongée dans Rⁿ, sinon je ne vois pas ce que ça voudrait dire (j'ai remarqué dans la VO, en 2014, ce changement d'un n en k, que je comprends encore moins). Anne, 13/4/16, 12 h 36

degré d'une forme différentielle

Il est dit dans l'introduction : "Le degré des formes différentielles désigne le degré des applications multilinéaires". N'est-ce pas plutôt : "Le degré des formes différentielles désigne le rang des applications multilinéaires" ? Merci pour votre réponse Bécassin (discuter) 3 septembre 2023 à 10:34 (CEST)