Discussion:Fonction rationnelle

Supprimé de l'article

J'ai supprimé de l'article la portion qui suit. C'est une remarque intéressante mais qui n'a rien à faire dans l'article sur les fonctions rationnelles qui ne forment pas un corps. Il me semble d'autre part que la notation R(X) correspond à l'anneau des polynômes (qui 'est pas non plus un corps) , il doit s'agir du corps des fractions de R(X) . Je pense que la meilleure place pour cette remarque serait dans archimédien. Quelqu'un a une autre idée? HB 11 mai 2006 à 18:04 (CEST)

Une application: un corps non archimédien

On peut munir le corps $\mathbb {R} (X)$ de la relation d'ordre définie par $F\leq G$ si on a $F(t)\leq G(t)$ pour réel t assez grand. Cette relation est alors totale. De plus, elle est compatible avec l'addition et la multiplication par les éléments positifs: $\mathbb {R} (X)$ a ainsi une structure de corps ordonné, et contient un sous-corps isomorphe à $\mathbb {R}$. Il n'est pas archimédien: en effet, on a $0<{\frac {1}{X}}<1$ mais, pour tout entier naturel n, $n.{\frac {1}{X}}<1$. D'une manière générale, en posant |F|=max(-F,F), on dira que F est infiniment petit devant G (noté F<<G) si, pour tout entier naturel n, n.|F|<|G|. Le degré fournit alors une échelle d'infiniment petits et d'infiniments grands par rapport aux réels: F<<G si, et seulement si, deg(F)<deg(G). L'ensemble des éléments de $\mathbb {R} (X)$ devant lesquels les réels non nuls ne sont pas négligeables, i.e. ceux de degré inférieur ou égal à 0, forment un sous-anneau de $\mathbb {R} (X)$.

Tout à fait d'accord

Bonjour, en effet, je me suis un peu emballé... La notation R(X) désigne bien le corps des fractions rationnelles de R[X] qui est, lui, l'anneau des polynômes à coefficients réels. Pour ce qui est de la confusion fonction/fraction rationnelle, elle est sans conséquence quand le corps de base est infini (comme pour les polynômes): il suffit d'identifier deux fonctions rationnelles qui coïncident en dehors d'un nombre fini de points où elles ne sont pas simultanéments définies.

Mû

fraction rationnelle? fonction rationnelle ?

Je n'ai pas bien compris ce qui gêne HB en ce qui concerne le "corps des fonctions/fractions rationnelles" (je rappelle d'ailleurs qu'il y a un redirect fraction rationnele -> fonction rationnelle)

• si on est rigoureux, l'ensemble des fonctions rationnelles n'a pas de structure car elles ont des domaines de définition distincts : est-ce ceci que tu veux dire, HB ?

C'est tout à fait cela

• en revanche si on considère non pas les fractions rationnelles mais leur prolongement par continuité maximal, il y a bijectivité 1 fraction = 1 fonction
• comme le fait remarquer Mû, c'est vrai dès que le corps de base est infini
• on note R(X) le corps des fractions rationnelles, et modulo le petit abus ci-dessus il est identifé à l'ensemble des fonctions rationnelles, qui peut être appelé un corps

c'est le "modulo le petit abus", le tien ou celui de mu qu'il faudrait expliciter. Il me semble pédagogiquement bon de savoir différencier les notions avant de voir comment les faire se rejoindre de manière rigoureuse. C'est vrai que c'est une préoccupation très "lycée" que de faire sentir l'importance des ensembles de définition dans les raisonnement mathématiques. Mu m'avait déjà convaincue de la validité de sa démarche et je cherchais le moyen de la remettre dans l'article avec toute la rigueur necessaire

qui peut le plus peut le moins, c'est bien de ne pas perdre de vue les abus. Un autre qu'on oublie facilement consiste à identifier des fonctions intégrables égales presque partout. En général je commence par faire l'abus, puis je corrige. Peps 12 mai 2006 à 14:10 (CEST)

Ce serait dommage de perdre l'exemple de corps non archimédien  : je suggère à Mû de le déplacer vers archimédien, mais il me semble qu'on peut faire une courte mention sous forme de lien dans cet article-ci

Il y a d'ailleurs dans l'article archimédien, un exemple d'anneau non archimédien du même genre. l'exemple d'un sur-corps de R y trouverait bien sa place.

pour évoquer toutes ces questions, le paragraphe "ne pas confondre" pourrait devenir plus largement un paragraphe évoquant les liens fraction-fonction rationnelle et les résultats de structure algébrique qu'il amène Peps 12 mai 2006 à 11:32 (CEST)

Entièrement d'accord HB 12 mai 2006 à 12:08 (CEST)

y a pas à dire c'est agréable de voir en combien de temps on règle une discussion à la satisfaction de toutes les parties, en maths ! Peps 12 mai 2006 à 14:10 (CEST)

Réflexion faite, j'ai préféré créer un article fraction rationnelle , à compléter, qui explique la construction, évoque le corps non archimédien et la correspondance fraction rationnelle et fonction rationnelle. Cependant, il me semble que cette correspondance n'existe que si le corps de base est de caractéristique nulle (et pas seulement s'il est de cardinal infini) HB 13 mai 2006 à 10:25 (CEST)

non ça marche bien avec un corps infini : deux fractions rationnelles telles que les fonctions coïncident sur un ensemble infini sont égales. En effet on obtient une égalité N1.D2=N2.D1 de polynômes vraie en un nombre infini de points. Dès lors le polynôme N1.D2-N2.D1 admet une infinité de racines distinctes. On peut factoriser successivement par (X-aj) une infinité de fois : absurde.

la confusion avec la caractéristique c'est que celle-ci intervient si on veut faire entrer en scène le polynôme dérivé (des coeff peuvent s'annuler). Mais si on fait la démo par factorisation il n'y a pas de lézard.

cf par exemple les cours type Ramis, Deschamps Odoux, ou encore Arnaudiès Peps 13 mai 2006 à 15:39 (CEST)

Bon sang mais c'est bien sûr ! ... Merci HB 13 mai 2006 à 16:42 (CEST)