Discussion:Escalier de Cantor

une question

Que vaut la fonction f1 en dehors de E = {0}U[1/3 2/3]U {1}.

Son graphe est une ligne brisée continue, ce qui définit sa valeur sur [0,1]. Par exemple, sur [0,1/3], f1(x) vaut 3x/2. Sur [1/3,2/3], f1(x) vaut 1/2. Sur [2/3, 1], f1(x) vaut (3x-1)/2. Manquait la mention de la continuité de fn. Chassaing 17 juillet 2009 à 09:20 (CEST)

importance

marginal certes à un niveau élémentaire mais décisif sur la question fondamentale de la relation entre dérivée et intégraleJaclaf (d) 7 juin 2011 à 11:15 (CEST)

Même à l'échelle de la théorie de l'intégration, cela reste un exemple que je ne qualifierais pas de décisif. Mais bon, comme cette évaluation n'a absolument aucun impact, fais comme le sens. Ambigraphe, le 8 juin 2011 à 18:30 (CEST)

Domaine de non dérivabilité

On pourrait créer une section (intitulée par exemple Domaine de dérivabilité, ou Domaine de non dérivabilité) disant quelque chose comme ça (mais il me manque 2 arguments essentiels, et j'espère que je n'interprète pas Eidswick 1974 de travers) :

En tout point où $f$ est dérivable, sa dérivée est nulle (car les dérivées de Dini supérieures de $f$ ne prennent que les valeurs $0$ et $+\infty$^{[pourquoi ?]}).

L'ensemble des points où $f$ n'est pas dérivable est donc non dénombrable <nowiki>{{supra|Quelques rappels d'analyse élémentaire}}</nowiki>. Il est cependant négligeable (car inclus dans l'ensemble de Cantor K₃). On peut aussi remarquer qu'il contient les extrémités des intervalles ouverts composant l'ouvert complémentaire de K₃ (c'est-à-dire les points de K₃ qui possèdent en base 3 un développement fini).

Ces constatations élémentaires sont complétées par le théorème suivant :

Théorème — Soit $t\in [0,1]$ possédant un développement en base 3 constitué d'une infinité de 0 et d'une infinité de 2, $z_{n}$ le rang de son $n$-ième 0 et $t_{n}$ le rang de son $n$-ième 2. La fonction de Cantor est dérivable en $t$ (et de dérivée nulle) si et seulement si les deux limites inférieures $\liminf 3^{z_{n}}/2^{z_{n+1}}$ et $\liminf 3^{t_{n}}/2^{t_{n+1}}$ sont nulles.

En particulier^{[pourquoi ?]}, l'ensemble des points où $f$ n'est pas dérivable a la puissance du continu (ce qui renforce la remarque selon laquelle il n'est pas dénombrable).

Anne, 6/1/17, 1 h 24

Lien wiki problématique

L'expression "dérivée faible" est utilisée dans cet article, avec un lien vers le § "Dérivation des distributions" dans l'article sur les distributions de Schwartz. Il semblerait donc qu'il s'agit de la dérivée au sens des distributions. Je ne connaissais pas l'expression d. faible - est-elle standard? (Source?) Si mon interprétation est correcte, il faudrait compléter l'article sur les distributions - sans cela certains lecteurs s'attendront à trouver une définition et, ne la trouvant pas, seront un peu perdus UKe-CH (discuter) 31 octobre 2023 à 23:25 (CET)