Discussion:Crochet de Lie

Discussion de 2006

Y a-t-il une justification à la présence d'un tel article ? le crochet de Lie n'existe pas "tout seul", il confère automatiquement la structure d'algèbre de Lie à l'espace vectoriel. Un redirect crochet -> algèbre me semble plus pertinent. Par ailleurs je ne comprends pas l'exemple avec le soi-disant "produit scalaire sur un espace vectoriel normé". Tel quel ça ne veut rien dire. On peut définir en revanche le crochet x.y-y.x (commutateur) pour une algèbre sur un corps K. Peps 18 juin 2006 à 17:46 (CEST)

Pour l'existence de l'article, je pense qu'en regardant les pages liées, c'est bien qu'il soit là (p. ex. Connexion de Levi-Civita)... Gene.arboit 18 juin 2006 à 17:49 (CEST)

tu as raison, mais en fait toutes les pages liées parlent en fait du crochet de Lie de deux champs de vecteurs. Voici donc le découpage que je propose

• algèbre de Lie contient la définition générale des crochets et algèbres de Lie, avec liens vers les exemples ci-dessous :
• crochet de Lie qui contient spécifiquement le crochet de deux champs de vecteurs
• commutateur (opérateur)
• crochet de Poisson

Du coup algèbre de Lie se rangerait dans les catégories algèbre linéaire (plutôt que générale ?), groupe de Lie (à créer au passage), et crochet de Lie se range en topologie différentielle et groupe de Lie Peps 18 juin 2006 à 21:58 (CEST)

Chantier

Dans le dictionnaire des mathématiques que j'ai consulté (référence voir bibliographie de l'article) , les auteurs définissent le crochet de Lie comme une algèbre E munie d'une loi telle que

• $[x,x]=0,\forall x\in E$
• $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$(identité de Jacobi)--Titi2 (d) 23 octobre 2008 à 16:15 (CEST)

$[x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y],\forall x,y\in E$. On déduit que si $[x,x]=0,\forall x\in E$, alors $[x,y]+[y,x]=0,\forall x,y\in E$.

Si le corps est de caractéristique différente de 2 : $[x,x]+[x,x]=(1+1)[x,x]$ entraîne que $[x,x]=0$

Donc les propriétés $[x,x]=0,\forall x\in E$ et $[x,y]+[y,x]=0,\forall x,\in E$ sont équivalentes si le corps est de caractéristique différente de deux. mais pas dans le cas général. Je corrige l'article en conséquence.--Cbigorgne (d) 26 février 2010 à 15:02 (CET)

Corps pour lequel $2\neq 0$

Apparemment le seul corps pour lequel ${\overline {2}}={\overline {0}}$ est le corps $\mathbb {F} _{2}$, pour lequel ${\overline {1}}+{\overline {1}}={\overline {0}}$.Autrement dit la classe des nombres impairs additionnée à elle-même donne la classe des nombres pairs.--Titi2 (d) 26 février 2010 à 14:20 (CET)

Les corps commutatifs pour lesquels ${\overline {1}}+{\overline {1}}={\overline {0}}$ sont les corps de caractéristique deux ; les corps finis de caractéristique deux sont les corps $\mathbf {F} _{2^{n}}$.--Cbigorgne (d) 26 février 2010 à 14:52 (CET)

Les corps de caractéristique 2 sont les corps qui contiennent un corps isomorphe à $\mathbf {F} _{2}$.--Cbigorgne (d) 26 février 2010 à 14:53 (CET)