Base canonique

Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de ℝⁿ, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. La propriété spécifique de ces bases canoniques est que pour tout vecteur v de l'espace, les coordonnées de v dans la base canonique sont données par les composantes mêmes (coefficients) qui constituent v.

Dans Kⁿ

Définition

Soit K un corps commutatif et n un entier naturel.

La base canonique de Kⁿ se compose des vecteurs $e_{i}\,$ (i variant de 1 à n) définis ainsi :

Pour i variant de 1 à n

$e_{i}=(\delta _{1,i},\delta _{2,i},\cdots ,\delta _{n,i})$.

Où $\delta _{1,i}\,$ désigne le symbole de Kronecker :

$\delta _{ij}={\begin{cases}1_{K}&{\text{si }}i=j\\0_{K}&{\text{si }}i\neq j\end{cases}}$

Où le 0 désigne le neutre de la première loi et le 1 celui de la seconde.

Il est important de se rappeler qu'une base a autant de vecteurs que la dimension de l'espace vectoriel.

Exemples

La base canonique du plan vectoriel ℝ² est constituée des deux vecteurs :

$\mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).$

Celle de l'espace ℝ³ à trois dimensions se compose des trois vecteurs :

$\mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).$

Le produit scalaire canonique est celui pour lequel la base canonique est orthonormée. L'orientation canonique est celle pour laquelle cette base est directe.

Dans d'autres espaces vectoriels usuels

Polynômes

Dans l'anneau des polynômes sur un corps K, vu comme espace vectoriel sur K, la base canonique est la famille des monômes $(X^{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Cette base est infinie. Comme pour toute base d'un espace vectoriel, tout vecteur (dans cette situation donc tout polynôme) s'écrit comme une combinaison linéaire faisant intervenir un nombre fini d'éléments de la base.

Matrices

Dans l'espace des matrices à n lignes et p colonnes, la base canonique est l'ensemble des « unités matricielles (en) » : ce sont les matrices $E_{i,j}$ qui présentent un 1 à l'intersection de la ième ligne avec la jème colonne et 0 partout ailleurs.

Pour toute matrice $M=(a_{i,j})$, ses coordonnées dans la base canonique sont les coefficients.

$M=\sum _{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq p}a_{i,j}E_{i,j}$

Exemple :

${\begin{pmatrix}0&1&2\\4&3&1\\\end{pmatrix}}=0{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+4{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$