Algèbre géométrique conforme

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre et la géométrie.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

L’algèbre géométrique conforme est un modèle mathématique de l'espace, établissant une correspondance injective^[1] entre l'espace euclidien de dimension $n$ et une algèbre géométrique de dimension $n+2$ , telle que l'image de tout point est un vecteur nul et telle qu'il existe un vecteur nul avec lequel l'image de tout point donne un produit intérieur égal à un.

{\begin{array}{c}F(\mathbf {x} )^{2}=0\\F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1\\\infty ^{2}=0\end{array}}

Définitions[modifier | modifier le code]

Plan de Minkowski[modifier | modifier le code]

L'algèbre géométrique conforme ajoute à l'espace euclidien deux dimensions dotées d'une métrique pseudo-euclidienne $(-,+)$ . Cet espace est appelé plan de Minkowskii.

Deux vecteurs nuls de cet espace sont choisis. Ils sont notés $(o,\infty )$ et appelés respectivement origine et horizon. Ils sont choisis afin de satisfaire les relations suivantes^[2]:

{\begin{array}{c}o^{2}=\infty ^{2}=0\\o\cdot \infty =\infty \cdot o=1\end{array}}

Il peut être montré que $(o,\infty )$ forment une base du plan de Minkowski. Cette base est appelée base nulle.

Le produit extérieur de l'horizon et de l'origine forme le pseudo-scalaire du plan de Minkowski. Il est noté avec un E majuscule.

\infty \wedge o=E

La convention $E=o\wedge \infty$ existe aussi mais ne sera pas utilisée dans cet article.

Découpage conforme[modifier | modifier le code]

L'algèbre géométrique conforme découpe^[3] une algèbre géométrique de dimension vectorielle $n+2$ en deux sous espaces : le plan de Minkowski et un espace de dimension $n$ visant à représenter un espace euclidien.

Il existe au moins deux méthodes de découpe.

Découpage additif[modifier | modifier le code]

Le découpage additif utilise une somme directe:

\mathbb {R} ^{n+1,1}=\mathbb {R} ^{n}\oplus \mathbb {R} ^{1,1}

Un vecteur $x$ de $\mathbb {R} ^{n+1,1}$ s'écrit donc:

x=F(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty

Les coefficients $\alpha ,\beta$ sont les coordonnées de $x$ dans le plan de Minkowski. Ils dépendent de $\mathbf {x}$ de manière que $F(\mathbf {x} )$ satisfasse les relations définissant le modèle conforme.

Découpage multiplicatif[modifier | modifier le code]

Le découpage multiplicatif consiste en un produit direct:

{\mathcal {G}}_{n+1,1}={\mathcal {G}}_{n}\otimes {\mathcal {G}}_{1,1}

Ici ${\mathcal {G}}_{n}$ est en fait l'espace des trivecteurs ayant pour facteur commun le bivecteur E.

\rho \mathbf {x} =x\wedge E

Le facteur de linéarité $\rho$ est à déterminer en tenant compte des conditions du modèle conforme.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Plan de Minkowski[modifier | modifier le code]

Carré du pseudo-scalaire[modifier | modifier le code]

Le carré du pseudo-scalaire du plan de Minkowski est égal à un.

E^{2}=1

Démonstration

${\begin{aligned}E^{2}=&(\infty \wedge o)(\infty \wedge o)\\=&-(o\wedge \infty )(\infty \wedge o)\\=&-(o\infty -o\cdot \infty )(\infty o-\infty \cdot o)\\=&-(o\infty -1)(\infty o-1)\\=&(1-o\infty )(\infty o-1)\\=&\infty o-1-o\infty \infty o+o\infty \\=&\infty o+o\infty -1\\=&2\infty \cdot o-1\\=&2-1\\=&1\end{aligned}}$

∎

Absorption par la base nulle[modifier | modifier le code]

Dans le plan de Minkowski, la multiplication par E agit sur l'origine et l'horizon en changeant ou non leur signe selon le sens de la multiplication.

{\begin{array}{c}E\infty =-\infty E=\infty \\oE=-Eo=o\end{array}}

Démonstration

${\begin{aligned}E\infty =&(\infty \wedge o)\infty \\=&-(o\wedge \infty )\infty \\=&-(o\infty -o\cdot \infty )\infty \\=&(o\cdot \infty -o\infty )\infty \\=&(1-o\infty )\infty \\=&\infty -o\infty ^{2}\\=&\infty \end{aligned}}$

Les autres relations se démontrent de manière similaire.

Expression de F[modifier | modifier le code]

Découpage additif[modifier | modifier le code]

Avec le découpage additif, l'expression explicite de F s'écrit^[4]:

F(\mathbf {x} )=o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty

Démonstration

Comme vu précédemment: $F(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty$

On cherche à déterminer $\alpha$ et $\beta$ afin de satisfaire $F(\mathbf {x} )^{2}=0$ et $F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1$ .

On a:

{\begin{aligned}F(\mathbf {x} )^{2}=&(\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty )(\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty )\\=&\mathbf {x} ^{2}+\alpha \beta o\infty +\alpha \beta \infty o\\=&\mathbf {x} ^{2}+2\alpha \beta o\cdot \infty \\=&\mathbf {x} ^{2}+2\alpha \beta \end{aligned}}

Donc $F(\mathbf {x} )^{2}=0$ implique $\alpha \beta =-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}$

La condition $F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1$ implique quant à elle immédiatement $\alpha =1$

Donc $\beta =-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}$

∎

Découpage multiplicatif[modifier | modifier le code]

Pour le découpage multiplicatif, F s'écrit:

F(\mathbf {x} )=(o+\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )E=o+\mathbf {x} E-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty

Démonstration

On a tout d'abord:

F(\mathbf {x} )=x=xE^{2}=(x\wedge E+x\cdot E)E

D'où

x^{2}=xx^{\dagger }=(x\wedge E+x\cdot E)EE(E\wedge x+x\cdot E)=-(x\wedge E+x\cdot E)(x\wedge E-x\cdot E)=(x\cdot E)^{2}-(x\wedge E)^{2}

Comme par ailleurs $x^{2}=0$ , il vient:

(x\cdot E)^{2}=(x\wedge E)^{2}=\mathbf {x} ^{2}

Or

(x\cdot E)^{2}=(x\cdot (\infty \wedge o))^{2}=(x\cdot \infty \,o-\infty \,x\cdot o)^{2}=(o-\infty \,x\cdot o)^{2}=-x\cdot o(o\infty +\infty o)=-2x\cdot o

Donc

x\cdot o=-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}

Et donc

x\cdot E=o-\infty \,x\cdot o=o+{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty

ce qui donne

xE=x\wedge E+x\cdot E=\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty +o

et enfin, en multipliant par E:

x=(\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty +o)E

Produit intérieur et norme euclidienne[modifier | modifier le code]

Le carré de la distance euclidienne est l'opposé du double du produit intérieur.

\|\mathbf {y} -\mathbf {x} \|^{2}=-2F(\mathbf {x} )\cdot F(\mathbf {y} )

Démonstration

Pour le découpage additif:

{\begin{aligned}2F(\mathbf {x} )\cdot F(\mathbf {y} )=&(o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )(o+\mathbf {y} -{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}\infty )+(o+\mathbf {y} -{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}\infty )(o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )\\=&-{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}+\mathbf {xy} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}-{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}+\mathbf {yx} \\=&-(\mathbf {x} ^{2}-\mathbf {xy} -\mathbf {yx} +\mathbf {y} ^{2})\\=&-(\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{2}\\=&-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}\end{aligned}}

Pour le découpage multiplicatif:

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Old Wine in New Bottles: A new algebraic framework for computational geometry[PDF], David Hestenes

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial $F(\mathbf {x} )=o$ .
↑ Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : $o\cdot \infty =-1$ . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.
↑ Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais split dans l'expression de Hestenes conformal split
↑ Certaines sources utilisent la formule $F(\mathbf {x} )=o+\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty$ . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.

[1] Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial $F(\mathbf {x} )=o$ .

[2] Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : $o\cdot \infty =-1$ . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.

[3] Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais split dans l'expression de Hestenes conformal split

[4] Certaines sources utilisent la formule $F(\mathbf {x} )=o+\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty$ . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.

[1]

[2]

[3]

[4]