Équivalence élémentaire

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En mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des modèles, on dit que deux structures pour un même langage formel sont élémentairement équivalentes quand elles satisfont les mêmes énoncés (formules closes) de la logique du premier ordre, dit autrement leurs théories (du premier ordre) sont les mêmes.

L'équivalence élémentaire est une notion typiquement logique en ce qu'elle fait intervenir le langage pour définir une relation entre structures. Elle diffère de la notion algébrique d'isomorphisme. Des structures isomorphes sont évidemment élémentairement équivalentes. L'exemple ci-après montre en revanche que l'inverse n'est pas vrai. Le théorème de Fraïssé, revu par Ehrenfeucht, donne une définition purement algébrique de l'équivalence élémentaire en termes d'isomorphismes partiels, extensibles par va-et-vient (en) un nombre fini de fois[1].

Exemple[modifier | modifier le code]

Dans le langage égalitaire dont la signature comporte le seul symbole de relation binaire ≤, la structure (R, ≤) des nombres réels et celle (Q, ≤) des nombres rationnels sont élémentairement équivalentes, la théorie des ordres totaux denses et sans extrémités étant complète. La propriété de la borne supérieure, qui permet de les distinguer, ne s'énonce pas au premier ordre.
Ils ne sont pas isomorphes, n'ayant pas même cardinalité.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Voir le début du livre Théorie des modèles de Bruno Poizat.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Extension élémentaire (en)