Théorème de Liouville (algèbre différentielle)

En mathématiques, et plus précisément en analyse et en algèbre différentielle (en), le théorème de Liouville, formulé par Joseph Liouvilleentre 1830 et 1840, et généralisé sous sa forme actuelle par Maxwell RosenlichtMaxwell Rosenlicht en 1968, donne des conditions pour qu'une primitive puisse être exprimée comme combinaison de fonctions élémentaires, et montre en particulier que de nombreuses primitives de fonctions usuelles, telle que la primitive de e^−x2, valant (à une constante près) la fonction d'erreur, ne peuvent s'exprimer ainsi.

Définitions

Un corps différentiel est un corps commutatif K, muni d'une dérivation, c'est-è-dire d'une application $\partial$ de K dans K, additive($\partial (u+v)=\partial u+\partial v$), et vérifiant la « règle de Leibniz » :

$\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u$.

Si K est un corps différentiel, le noyau de $\partial$, $k=\{u\in K:\partial (u)=0\}$, est appelé le corps des constantes, et noté Con(K) ;k est un sous-corps de K.

Étant donnés deux corps différentiels F et G, on dit que G est une extension logarithmique de F si G est une extension transcendante simple de F, c'est-à-dire que G = F(t) pour un élément transcendant t) , et qu'il existe un s de F tel que$\partial t=\partial s/s$.

Cette condition a la forme d'une dérivée logarithmique ; on peut donc interpréter t comme une sorte de logarithme de l'élément s de F.

De façon analogue, une extension exponentielle de F est une extension transcendante simple de F telle qu'il existe un s de F vérifiant $\partial t=t\partial s$ ; là encore, t peut être interprété comme une sorte d'exponentielle de s.

Enfin, on dit que G est une extension différentielle élémentaire de F s'il existe une chaîne finie de sous-corps allant de F à G, telle que chaque extension de la chaîne soit algébrique, logarithmique ou exponentielle.

Le théorème fondamental

Théorème de Liouville-Rosenlicht — Soient F et G deux corps différentiels, avec Con(F) = Con(G), et G extension différentielle élémentaire de F. Soit a un élément de F, y un élément de G, avec $\partial$ y = a. Il existe alors une suite c₁, ..., c_n de Con(F), une suite u₁, ..., u_n de F, et un élément v de F tels que

$a=c_{1}{\frac {\partial u_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {\partial u_{n}}{u_{n}}}+\partial v.$

Autrement dit, les seules fonctions ayant des « primitives élémentaires » (c'est-à-dire des primitives appartenant à des extensions élémentaires de F) sont celles de la forme prescrite par le théorème.

Exemples

Le corps K = C(x) des fractions rationnelles à une variable, muni de la dérivée usuelle, est un corps différentiel ; son corps des constantes s'identifie à C. La plupart des éléments de ce corps n'y ont pas de primitives ; par exemple ${1}/{x}$ n'en admet pas, parce que ses primitives ln x + C ont une vitesse de croissance à l'infini plus faible que celle de toute fraction rationnelle non bornée ; de même, on montre que les primitives de ${1}/(x^{2}+1)$, de la forme arctan(x) + C, n'appartiennent pas à K. Cependant, dans ces deux cas, il existe une primitive dans une extension de K; respectivement, il s'agit de l'extension logarithmique K$[\ln x]$ et de l'extension logarithmique K$[\ln((1+ix)/(1-ix))]$ : en effet, utilisant les formules d'Euler, on peut écrire

${\begin{aligned}e^{2i\theta }&={\frac {e^{i\theta }}{e^{-i\theta }}}={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{\cos \theta -i\sin \theta }}={\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}\\[8pt]2i\theta &=\ln {\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}{\rm {\ et\ donc\ }}\tan ^{-1}x=-{\frac {1}{2}}i\ln {\frac {1+ix}{1-ix}}\end{aligned}}$

En revanche, la fonction erf, primitive de exp(-x²) (à la constante 2/${\sqrt {\pi }}$ près), ne peut s'écrire comme composée de fonctions usuelles, c'est-à-dire qu'elle n'est dans aucune extension différentielle élémentaire de K. La démonstration repose sur l'expression exacte du théorème, et consiste à montrer que exp(-x²) ne saurait se décomposer ainsi. On montre de même que de nombreuses fonctions spéciales définies comme des primitives, telles que le sinus intégral Si, ou lelogarithme intégral Li, ne peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles.

Relation avec la théorie de Galois différentielle

On présente parfois le théorème de Liouville comme faisant partie de la théorie de Galois différentielle, mais cela n'est pas tout à fait exact : il peut être démontré sans aucun appel à la théorie de Galois. De plus, le groupe de Galois d'une primitive donnée est soit trivial (s'il n'est pas nécessaire d'étendre le corps pour l'exprimer), soit le groupe additif des constantes (correspondant à la constante d'intégration). Ainsi, le groupe de Galois différentiel d'une primitive ne contient pas assez d'information pour déterminer si elle peut ou non s'exprimer en fonctions élémentaires, ce qui constitue l'essentiel du théorème de Liouville.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « de version article original » (voir la liste des auteurs).

• (en) Maxwell Rosenlicht, « Liouville's Theorem on Functions with Elementary integral », Pacific Journal of Mathematics, vol. 24,‎ 1968, p. 153–161
• (en) D. Bertrand, « Review of "Lectures on differential Galois theory" », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 33, n^o 2,‎ 1996 (ISSN 0002-9904, lire en ligne)
• (en) Geddes, Czapor, Labahn, Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers, 1992 (ISBN 0-7923-9259-0)

• (en) Andy R. Magid, Lectures on differential Galois theory, vol. 7, American Mathematical Society, coll. « University Lecture Series », 1994 (ISBN 978-0-8218-7004-4, lire en ligne)

• (en) Andy R. Magid, Differential Galois theory, vol. 46, 1999, 1041–1049 p. (ISSN 0002-9920, lire en ligne)

• (en) Marius van der Put et Michael F. Singer, Galois theory of linear differential equations, vol. 328, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] », 2003 (ISBN 978-3-540-44228-8, lire en ligne)

Liens externes

Des exemples plus détaillés et une démonstration du théorème.

Voir aussi

• Algorithme de RischAlgorithme de Risch