« Fonction demi-exponentielle » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté

Intégrés

Version du 18 mars 2024 à 14:40

En mathématiques, une fonction semi-exponentielle est une racine carrée fonctionnelle d'une fonction exponentielle . Autrement dit, une fonction $f$ telle que $f$ composée avec elle-même donne une fonction exponentielle : ^[1]^,^[2]

f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},

pour certaines constantes

a

and

b

.

Impossibilité d'une forme fermée

Si une fonction $f$ est définie à l'aide des opérations arithmétiques standard, de l'exponentiation, des logarithmes et des constantes réelles, alors $f{\bigl (}f(x){\bigr )}$ est soit sous-exponentielle, soit super-exponentielle. ^[3] Ainsi, une fonction $L$ de Hardy ne peut pas être semi-exponentielle.

Construction

Toute fonction exponentielle peut être écrite comme l'auto-composition $f(f(x))$ pour une infinité de choix possibles de $f$ . En particulier, pour chaque $A$ dans l'intervalle ouvert $]0,1[$ et pour toute fonction continue strictement croissante $g$ depuis $[0,A]$ sur $[A,1]$ , il existe un prolongement de cette fonction vers une fonction continue strictement croissante $f$ sur les nombres réels tels que $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x$ .^r La fonction $f$ est l'unique solution de l' équation fonctionnelle

f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{si }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{si }}x\in ]A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{si }}x\in >1,\\\ln f(\exp x)&{\mbox{si }}x<0.\\\end{cases}}

Un exemple simple, qui conduit à $f$ avec une dérivée continue partout, consiste à prendre $A={\tfrac {1}{2}}$ et $g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}$ , donnant

f(x)={\begin{cases}\ln \left(\mathrm {e} ^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{si }}x\leq -\ln 2,\\\mathrm {e} ^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{si }}{-\ln 2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{si }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\\mathrm {e} ^{x-1/2}&{\mbox{si }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {\mathrm {e} }}&{\mbox{si }}1\leq x\leq {\sqrt {\mathrm {e} }},\\\mathrm {e} ^{x/{\sqrt {\mathrm {e} }}}&{\mbox{si }}{\sqrt {\mathrm {e} }}\leq x\leq \mathrm {e} ,\\x^{\sqrt {\mathrm {e} }}&{\mbox{si }}\mathrm {e} \leq x\leq \mathrm {e} ^{\sqrt {\mathrm {e} }},\\\mathrm {e} ^{x^{1/{\sqrt {\mathrm {e} }}}}&{\mbox{si }}\mathrm {e} ^{\sqrt {\mathrm {e} }}\leq x\leq \mathrm {e} ^{\mathrm {e} },\ldots \\\end{cases}}

Application

Les fonctions demi-exponentielles sont utilisées dans la théorie de la complexité informatique pour les taux de croissance « intermédiaires » entre polynôme et exponentiel. ^[2] Une fonction $f$ croît au moins aussi vite qu'une fonction demi-exponentielle (sa composition avec elle-même croît de façon exponentielle) si elle est non décroissante et $f^{-1}(x^{C})=o(\log x)$ , pour tout $C>0$ .^r

Voir aussi

Références

↑ H. Kneser, « Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 187,‎ 1950, p. 56–67 (DOI 10.1515/crll.1950.187.56, MR 0035385, lire en ligne)
↑ ^{a et b} Peter Bro Miltersen, N. V. Vinodchandran et Osamu Watanabe « Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26–28, 1999, Proceedings » (1999) (DOI 10.1007/3-540-48686-0_21, MR 1730337)
↑ (en) J. van der Hoeven, Transseries and Real Differential Algebra, vol. 1888, Springer-Verlag, Berlin, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 2006 (ISBN 978-3-540-35590-8, DOI 10.1007/3-540-35590-1, MR 2262194) See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.

Erreur de référence : La balise <ref> nommée « croneu » définie dans <references> n’est pas utilisée dans le texte précédent.
Erreur de référence : La balise <ref> nommée « razrud » définie dans <references> n’est pas utilisée dans le texte précédent.

Liens externes

[sqrtexp-1] H. Kneser, « Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 187,‎ 1950, p. 56–67 (DOI 10.1515/crll.1950.187.56, MR 0035385, lire en ligne)

[miltersen-2] {a et b} Peter Bro Miltersen, N. V. Vinodchandran et Osamu Watanabe « Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26–28, 1999, Proceedings » (1999) (DOI 10.1007/3-540-48686-0_21, MR 1730337)

[transseries-3] (en) J. van der Hoeven, Transseries and Real Differential Algebra, vol. 1888, Springer-Verlag, Berlin, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 2006 (ISBN 978-3-540-35590-8, DOI 10.1007/3-540-35590-1, MR 2262194) See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.

[1]

[2]

[3]