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En [[théorie des représentations]], la '''filtration de Jantzen''' est une [[Filtration (mathématiques)|filtration]] d'un {{Lien|lang=en|trad=Verma module|fr=module de Verma}} d'une [[algèbre de Lie semi-simple]], ou d'un {{Lien|lang=en|trad=Weyl module|fr=module de Weyl}} d'un [[Groupe réductif|groupe algébrique réductif]] de caractéristique positive. Les filtrations de Jantzen ont été introduites dans {{Harvard|Jantzen|1979}}. |
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== Filtration de Jantzen pour les modules de Verma == |
== Filtration de Jantzen pour les modules de Verma == |
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* ''M''(λ)<sup>1</sup> = ''N''(λ), l'unique sous-module propre maximal de ''M''(λ) ; |
* ''M''(λ)<sup>1</sup> = ''N''(λ), l'unique sous-module propre maximal de ''M''(λ) ; |
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* les quotients ''M''(λ)<sup>''i''</sup>/''M''(λ)<sup>''i''+1</sup> admettent une {{Lien|lang=en|trad=Contravariant form|fr=forme bilinéaire contravariante}} non dégénérée ; |
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* la '''formule de la somme de Jantzen''' est satisfaite : |
* la '''formule de la somme de Jantzen''' est satisfaite : |
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: <math>\sum_{i>0}\text{ch}(M(\lambda)^i) = \sum_{\alpha>0,\ s_\alpha(\lambda)<\lambda}\text{ch}(M(s_\alpha \cdot \lambda))</math> |
: <math>\sum_{i>0}\text{ch}(M(\lambda)^i) = \sum_{\alpha>0,\ s_\alpha(\lambda)<\lambda}\text{ch}(M(s_\alpha \cdot \lambda))</math> |
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: où <math>\text{ch}(\cdot)</math> désigne le |
: où <math>\text{ch}(\cdot)</math> désigne le {{Lien|lang=en|fr=algebraic character|texte=caractère formel}}. |
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== Références == |
== Références == |
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{{Traduction/Référence|en|Jantzen filtration|1094536509}} |
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*{{Chapitre | nom1=Beilinson | prénom1=Alexander | lien auteur1=Alexander Beilinson | nom2=Bernstein | prénom2=Joseph | lien auteur2=Joseph Bernstein | auteur ouvrage=Sergei Gelʹfand et Simon Gindikin | titre ouvrage=I. M. Gelʹfand Seminar | éditeur=[[American Mathematical Society]] | lieu=Providence, R.I. | collection=Adv. Soviet Math. | isbn=978-0-8218-4118-1 | année=1993 | volume=16 | titre chapitre=A proof of Jantzen conjectures | pages=1-50 | consulté le=2011-06-15 | lire en ligne=https://web.archive.org/web/20150709040325/http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/BB%20-%20Jantzen.pdf }} |
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*{{Ouvrage | nom1=Humphreys | prénom1=James E.|lien auteur1=James E. Humphreys | titre=Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O | présentation en ligne=https://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-94 | éditeur=[[American Mathematical Society]] | lieu=Providence, R.I. | collection=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4678-0 | mr=2428237 | année=2008 | volume=94}} |
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*{{Ouvrage | nom1=Jantzen | prénom1=Jens Carsten | lien auteur1=Jens Carsten Jantzen | titre=Moduln mit einem höchsten Gewicht | éditeur=[[Springer-Verlag]] | lieu=Berlin, New York | collection=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-09558-3 | doi=10.1007/BFb0069521 | mr=552943 | année=1979 | numéro dans collection=750}} |
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Dernière version du 26 novembre 2023 à 15:18
En théorie des représentations, la filtration de Jantzen est une filtration d'un module de Verma (en) d'une algèbre de Lie semi-simple, ou d'un module de Weyl (en) d'un groupe algébrique réductif de caractéristique positive. Les filtrations de Jantzen ont été introduites dans (Jantzen 1979).
Filtration de Jantzen pour les modules de Verma[modifier | modifier le code]
Si M(λ) est un module de Verma d'une algèbre de Lie semi-simple de plus haut poids λ, alors la filtration de Janzen est une filtration décroissante
Elle possède les propriétés suivantes :
- M(λ)1 = N(λ), l'unique sous-module propre maximal de M(λ) ;
- les quotients M(λ)i/M(λ)i+1 admettent une forme bilinéaire contravariante (en) non dégénérée ;
- la formule de la somme de Jantzen est satisfaite :
- où désigne le caractère formel (en).
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jantzen filtration » (voir la liste des auteurs).
- Alexander Beilinson et Joseph Bernstein, « A proof of Jantzen conjectures », dans Sergei Gelʹfand et Simon Gindikin, I. M. Gelʹfand Seminar, vol. 16, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Adv. Soviet Math. », , 1-50 p. (ISBN 978-0-8218-4118-1, lire en ligne)
- James E. Humphreys, Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O, vol. 94, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics », (ISBN 978-0-8218-4678-0, MR 2428237, présentation en ligne)
- Jens Carsten Jantzen, Moduln mit einem höchsten Gewicht, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 750), (ISBN 978-3-540-09558-3, DOI 10.1007/BFb0069521, MR 552943)