Matrice vide

En mathématiques, la matrice vide, notée (), est définie comme la matrice de dimension 0 × 0, ou de manière générale de dimension m × 0 ou 0 × n.

Une matrice pouvant être définie abstraitement par une famille finie d'éléments d'un ensemble K (souvent un anneau commutatif ou un corps) indexée par un produit cartésien I × J où I et J sont des ensembles finis, la matrice vide correspond au cas où I ou J est l'ensemble vide.

Cette matrice est utile pour travailler avec l'espace nul, que nous notons ici K⁰ (K étant un corps commutatif quelconque, habituellement ℝ ou ℂ). C'est également un cas limite de l'algèbre. En informatique, la matrice vide peut être le résultat d'une recherche infructueuse ; l'extension des règles de l'algèbre à la matrice vide permet donc d'éviter de traiter ce cas comme une exception.

L'espace nul K⁰ ne contient qu'un seul élément, la « séquence vide » (le vecteur n'ayant aucune coordonnées). Un espace vectoriel ayant nécessairement un élément neutre, ce vecteur vide est le vecteur nul de K⁰ que l'on peut noter 0_K⁰. Considérons maintenant un espace vectoriel E quelconque. Il n'existe qu'une seule application linéaire de E dans K⁰, celle transformant tout vecteur de E en vecteur nul. Et il n'existe qu'une seule application linéaire de K⁰ dans E, l'image de K⁰ par cette application étant le vecteur nul de E, 0_E. Les ensembles des applications linéaires L(E, K⁰) et L(K⁰, E) sont des singletons, ils possèdent un unique élément. Cet élément est représenté par la matrice vide.

La matrice vide représente en particulier l'identité Id₀ de l'espace nul. C'est donc une matrice inversible (régulière), donc carrée.

Par application de l'algèbre linéaire, on a :

• image : Im() = {0} ;
• pour toutes les normes : ║()║ = 0 ;
• le conditionnement de la matrice vide : cond() = 0 par application de la formule de Turing, parfois 1 par application de la notion de conditionnement (une précision parfaite correspondant à un score de 1) ;
• pour toute matrice A : () + A = A + () = A ou () selon les conventions ;
• en général, A × () = () × A = () ;

  Considérons une matrice A de dimension (m × n) et une matrice B de dimension (n × p), au moins un des entiers m, n et p étant nul. Si m = 0 , alors AB est une matrice de dimension (0 × p) donc la matrice vide. De même, si p = 0, alors AB est une matrice de dimensions (m × 0), c'est également la matrice vide. Mais si n = 0 et si m ≠ 0 et p ≠ 0, alors la matrice AB est une matrice de dimension (m × p), ce n'est pas la matrice vide. C'est en revanche la matrice nulle 0_{m, p}.

• déterminant : det() = 1 ; c'est une conséquence de la notion de produit vide dans la formule de Leibniz ;
• son polynôme caractéristique est X⁰, la fonction polynôme correspondante est donc ƒ(t) = 1 pour tout t ;
• rang : rg() = 0.