Rang (mathématiques)

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En algèbre linéaire,

• le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendrée par cette famille. Par exemple, pour une famille de vecteurs linéairement indépendants, son rang est le nombre de vecteurs ;
• le rang d'une application linéaire f de E dans F est la dimension de son image, qui est un sous-espace vectoriel de F. Le théorème du rang relie la dimension de E, la dimension du noyau de f et le rang de f ;
• le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente ou encore le rang de la famille de ses vecteurs colonnes.

Rang d'une matrice

Le rang d'une matrice A, noté rg A, est

• le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants,
• la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes (ou colonnes) de A,
• le plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de A,
• la taille du plus grand mineur non nul de A,
• la plus petite des tailles des matrices B et C dont le produit est égal à A,

tous ces nombres étant égaux.

On peut déterminer le rang en procédant à une élimination via la méthode de Gauss-Jordan et en examinant la forme échelonnée obtenue de cette manière.

Exemple

Soit la matrice suivante :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$

On voit que la 2^e ligne est le double de la première ligne. On note également que la 4^e ligne est égale à la somme de la première avec la troisième. Les lignes 1 et 3 sont linéairement indépendantes. Le rang de cette matrice est donc égal à 2. Une autre manière plus directe est de calculer la forme échelonnée réduite de cette matrice. Cette nouvelle matrice a le même rang que la matrice originale, et le rang correspond au nombre de lignes qui sont non nulles. Dans ce cas, nous avons deux lignes qui correspondent à ce critère.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

On remarque que le rang d'une matrice donnée est égal au rang de sa transposée. Pour l'exemple, prenons la transposée de la matrice A ci-dessus :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}.$

On voit que la 4^e ligne est triple de la première, et que la troisième ligne moins la deuxième est double de la première.

Après échelonnement, on obtient donc :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

et le rang de cette matrice est bien 2.

Rang d'une application linéaire

Étant donnés deux espaces vectoriels E, F et une application linéaire f de E dans F, le rang de f est la dimension de l'image de f.

Si E et F sont de dimensions finies, c'est aussi le rang de la matrice associée à f dans deux bases de E et F. En particulier, le rang de la matrice associée à f ne dépend pas des bases choisies pour représenter f. En effet, la multiplication à droite ou à gauche par une matrice inversible ne modifie pas le rang, ce qui amène $rg(P^{-1}AQ)=rg(A)$, où $A$ est la matrice représentant f dans un premier couple de bases, et $P,Q$ des matrices de changement de base.

Rang d'une famille de vecteurs

• Pour une famille, son rang correspond au nombre maximal de vecteurs que peut contenir une sous-famille libre de cette famille
• On peut aussi définir le rang d'une famille u par : rg (u) = dim(Vect(u))

Remarque : si $(u_1,\dots,u_n)$ est une famille de vecteurs indexée par les entiers de 1 à n, alors le rang de u est le rang de l'application linéaire

$K^n\rightarrow E:(r_1,\dots,r_n)\mapsto \sum r_iu_i,$

où $K$ est le corps des scalaires. La raison est la suivante : Vect(u) est l'image de cette application linéaire.

Propriétés

Soit A une matrice

• Inégalité de Frobenius : rg(AB)+rg(BC)≤rg(ABC)+rg(B)
  • (Cas particulier) inégalité de Sylvester : si A a n colonnes et B a n lignes, alors rg(A)+rg(B)-n≤rg(AB)
• Théorème du rang : f une application linéaire de E dans F, dim(E)=rg(f)+dim(Ker(f))
• Matrice transposée et application transposée : rg(^tA)=rg(A) et rg(^tf)=rg(f)
• Produit de matrices et composition d'applications linéaires : rg(BA)≤min(rg(B),rg(A)) et rg(g∘f)≤min(rg(g),rg(f))
• Addition : rg(A+B)≤rg(A)+rg(B)
• Le rang d'une famille de vecteurs ne change pas lorsqu'on multiplie un de ses vecteurs par un scalaire non nul, lorsqu'on ajoute à un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs, ou lorsqu'on échange deux vecteurs.
• Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

Articles connexes

• Rang d'une forme quadratique
• Rang d'un groupe abélien libre
• Rang d'un groupe abélien (en)
• Rang d'un module libre