Fonction demi-exponentielle

En mathématiques, une fonction semi-exponentielle est une racine carrée fonctionnelle d'une fonction exponentielle. Autrement dit, une fonction $f$ telle que $f$ composée avec elle-même donne une fonction exponentielle^[1]^,^[2]:

f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},

pour certaines constantes

a

et

b

.

Impossibilité d'une forme fermée[modifier | modifier le code]

Si une fonction $f$ est définie à l'aide des opérations arithmétiques standard, de l'exponentiation, des logarithmes et des constantes réelles, alors $f{\bigl (}f(x){\bigr )}$ est soit sous-exponentielle, soit super-exponentielle^[3]. Ainsi, une fonction $L$ de Hardy ne peut pas être semi-exponentielle.

Construction[modifier | modifier le code]

Toute fonction exponentielle peut être écrite comme l'auto-composition $f(f(x))$ pour une infinité de choix possibles de $f$ . En particulier, pour chaque $A$ dans l'intervalle ouvert $]0,1[$ et pour toute fonction continue strictement croissante $g$ depuis $[0,A]$ sur $[A,1]$ , il existe un prolongement de cette fonction vers une fonction continue strictement croissante $f$ sur les nombres réels tels que $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x$ ^[4]. La fonction $f$ est l'unique solution de l'équation fonctionnelle

f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{si }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{si }}x\in ]A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{si }}x>1,\\\ln f(\exp x)&{\mbox{si }}x<0.\\\end{cases}}

Un exemple simple, qui conduit à $f$ avec une dérivée continue partout, consiste à prendre $A={\tfrac {1}{2}}$ et $g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}$ , donnant

f(x)={\begin{cases}\ln \left(\mathrm {e} ^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{si }}x\leq -\ln 2,\\\mathrm {e} ^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{si }}{-\ln 2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{si }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\\mathrm {e} ^{x-1/2}&{\mbox{si }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {\mathrm {e} }}&{\mbox{si }}1\leq x\leq {\sqrt {\mathrm {e} }},\\\mathrm {e} ^{x/{\sqrt {\mathrm {e} }}}&{\mbox{si }}{\sqrt {\mathrm {e} }}\leq x\leq \mathrm {e} ,\\x^{\sqrt {\mathrm {e} }}&{\mbox{si }}\mathrm {e} \leq x\leq \mathrm {e} ^{\sqrt {\mathrm {e} }},\\\mathrm {e} ^{x^{1/{\sqrt {\mathrm {e} }}}}&{\mbox{si }}\mathrm {e} ^{\sqrt {\mathrm {e} }}\leq x\leq \mathrm {e} ^{\mathrm {e} },\ldots \\\end{cases}}

Application[modifier | modifier le code]

Les fonctions demi-exponentielles sont utilisées dans la théorie de la complexité informatique pour les taux de croissance « intermédiaires » entre polynôme et exponentiel. ^[1] Une fonction $f$ croît au moins aussi vite qu'une fonction demi-exponentielle (sa composition avec elle-même croît de façon exponentielle) si elle est non décroissante et $f^{-1}(x^{C})=o(\log x)$ , pour tout $C>0$ ^[5].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Half-exponential function » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} Peter Bro Miltersen, N. V. Vinodchandran et Osamu Watanabe « Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26–28, 1999, Proceedings » (1999) (DOI 10.1007/3-540-48686-0_21, MR 1730337)
↑ (en) H. Kneser, « Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 187,‎ 1950, p. 56–67 (DOI 10.1515/crll.1950.187.56, MR 0035385, lire en ligne)
↑ (en) J. van der Hoeven, Transseries and Real Differential Algebra, vol. 1888, Springer-Verlag, Berlin, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 2006 (ISBN 978-3-540-35590-8, DOI 10.1007/3-540-35590-1, MR 2262194) Voir 4.10, p. 91, selon lequel toute telle fonction a un taux de croissance comparable à une fonction exponentielle ou logarithmique intérée un nombre entier de fois, plutôt que le demi-entier qui serait requis pour une fonction demi-exponentielle.
↑ (en) Lawrence J. Crone et Arthur C. Neuendorffer, « Functional powers near a fixed point », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 132, n^o 2,‎ 1988, p. 520–529 (DOI 10.1016/0022-247X(88)90080-7, MR 943525)
↑ (en) Alexander A. Razborov et Steven Rudich, « Natural proofs », Journal of Computer and System Sciences, vol. 55, n^o 1,‎ 1997, p. 24–35 (DOI 10.1006/jcss.1997.1494 , MR 1473047)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Portail de l'analyse

[miltersen-1] {a et b} Peter Bro Miltersen, N. V. Vinodchandran et Osamu Watanabe « Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26–28, 1999, Proceedings » (1999) (DOI 10.1007/3-540-48686-0_21, MR 1730337)

[sqrtexp-2] (en) H. Kneser, « Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 187,‎ 1950, p. 56–67 (DOI 10.1515/crll.1950.187.56, MR 0035385, lire en ligne)

[transseries-3] (en) J. van der Hoeven, Transseries and Real Differential Algebra, vol. 1888, Springer-Verlag, Berlin, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 2006 (ISBN 978-3-540-35590-8, DOI 10.1007/3-540-35590-1, MR 2262194) Voir 4.10, p. 91, selon lequel toute telle fonction a un taux de croissance comparable à une fonction exponentielle ou logarithmique intérée un nombre entier de fois, plutôt que le demi-entier qui serait requis pour une fonction demi-exponentielle.

[croneu-4] (en) Lawrence J. Crone et Arthur C. Neuendorffer, « Functional powers near a fixed point », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 132, n^o 2,‎ 1988, p. 520–529 (DOI 10.1016/0022-247X(88)90080-7, MR 943525)

[razrud-5] (en) Alexander A. Razborov et Steven Rudich, « Natural proofs », Journal of Computer and System Sciences, vol. 55, n^o 1,‎ 1997, p. 24–35 (DOI 10.1006/jcss.1997.1494 , MR 1473047)

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