Processus progressivement mesurable

En mathématiques, un processus progressivement mesurable est un type de processus stochastique. Ce type de processus permet de démontrer qu'un processus arrêté est mesurable.

Définition

Soient

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ un espace de probabilité ;
• $(\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})$ un espace mesurable, l'espace d'états ;
• $\{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}$ une filtration de la σ-algèbre ${\mathcal {F}}$;
• $X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X}$ un processus stochastique (l'ensemble des indices pourrait être $[0,T]$ ou $\mathbb {N} _{0}$ au lieu de $[0,\infty )$)
• ${\mathcal {B}}([0,t])$ la σ-algèbre de Borel sur $[0,t]$.

Le processus $X$ est dit progressivement mesurable si, pour chaque $t$, l'application $[0,t]\times \Omega \to \mathbb {X}$ définie par $(s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )$ est ${\mathcal {B}}([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}$ - mesurable. Cela implique que $X$ est ${\mathcal {F}}_{t}$ - adapté.