Variété stable

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Les variétés stables jouent un rôle central dans les systèmes dynamiques différentiables en temps continu. Cette notion est aussi au centre de l'homologie de Floer.

Soit une fonction différentiable sur une variété différentielle compacte de dimension . Considérons une métrique riemannienne sur . Le champ de gradient de est défini par

Un point critique est dit non dégénéré lorsque la hessienne est une forme blinéaire non dégénérée sur . En apparence, la connexion de Levi-Cevita intervient dans la définition de la hessienne, mais en un point critique , la définition de la hessienne ne dépend pas de la métrique. En particulier, la définition d'un point critique non dégénéré est intrinsèque à la variété.

Comme est compacte, le flot de grad F est complet et définit un groupe à un paramètre de difféomorphismes

Si est un point critique non dégénéré, on appelle variété stable Le résultat suivant est non élémentaire et ses implications sont larges et considérables.

Théorème : Sous les notations précédentes, la variété stable est une sous-variété plongée de , de dimension . De plus, l'espace tangent en l'élément x est :

Ici, désigne l'indice de la hessienne, c'est-à-dire la dimension maximum d'un sous-espace sur lequel elle est définie négative.

Références[modifier | modifier le code]