Utilisateur:Tkuvho/Infinitésimal
Archimède exploita les infinitésimaux dans La Méthode pour trouver des aires des régions et des volumes de solides. Les auteurs classiques avaient tendance à chercher à remplacer les arguments infinitésimaux par des arguments par l'épuisement qu'ils jugeaient plus fiables. Le 15ème siècle a vu le travail pionnier de Nicolas de Cues, développé au 17ème siècle par Johannes Kepler, en particulier le calcul de l'aire d'un cercle en représentant celui-ci comme un polygone d'un nombre infini de côtés. Simon Stevin élabora un continu de décimaux au 16ème siècle. La méthode des indivisibles de Bonaventura Cavalieri conduit à une extension des résultats des auteurs classiques. La méthode des indivisibles traitait des figures géométriques comme étant composés d'entités de codimension 1. Les infinitésimaux de John Wallis diffèrent des indivisibles en ce sens que des figures géométriques se décomposeraient en des parties infiniment minces de la même dimension que la figure, préparant le terrain pour des méthodes générales du calcul intégral. Il exploita un infinitésimal notée dans les calculs de superficie.
Pierre de Fermat, inspiré par Diophante, developpa le concept d'adégalité, c'est à dire égalité «adéquate» ou égalité approximative (avec une erreur infime), qui a fini par jouer un rôle clé dans une mise en œuvre mathématique moderne des définitions infinitésimales de la dérivée et l'intégrale. L'utilisation des infinitésimaux chez Leibniz s'appuya sur un principe heuristique appelé la loi de continuité: ce qui réussit pour les nombres finis réussit aussi pour les nombres infinis, et vice versa. Le 18ème siècle a vu l'utilisation systématique des infiniment petits par les plus grands tels que Leonhard Euler et Joseph Lagrange. Augustin-Louis Cauchy exploita les infinitésimaux dans sa définition de la continuité et dans une forme préliminaire d'une fonction delta de Dirac. Lorsque Cantor et Dedekind développaient des versions plus abstaites du continu de Stevin, Paul du Bois-Reymond a écrit une série d'articles sur des continus enrichis d'infinitésimaux sur la base des taux de croissance des fonctions. L'œuvre de du Bois-Reymond a inspiré à la fois Emile Borel et Thoralf Skolem. Skolem développa les premiers modèles non-standard de l'arithmétique en 1934. Une mise en œuvre mathématique à la fois de la loi de continuité et des infinitésimaux a été réalisée par Abraham Robinson en 1961, qui a développé l'analyse non-standard basées sur des travaux antérieurs de Edwin Hewitt en 1948 et Jerzy Los en 1955. Les hyperréels constituent un continu enrichi d'infinitésimaux, tendis que le principe du transfert met en œuvre la loi de continuité de Leibniz.