Utilisateur:The Very Hungry Octopus/Calcul d'un point fixe

Le calcul d'un point fixe désigne le problème du calcul de la valeur exacte ou approchée d'un point fixe d'une fonction donnée. Dans sa forme la plus courante, on dispose d'une fonction f qui satisfait la condition du théorème du point fixe de Brouwer, c'est-à-dire : f est une fonction continue du n-cube unitaire sur lui-même. Le théorème du point fixe de Brouwer garantit que f a un point fixe, mais la preuve ne permet pas de le calculer. Divers algorithmes ont été conçus pour trouver une valeur approchée d'un point fixe. De tels algorithmes sont utilisés en économie pour calculer un équilibre de marché, en théorie des jeux pour calculer un équilibre de Nash et en analyse des système dynamique .

Définitions

Le graphe d'une fonction avec 3 points fixes.

L'intervalle unité est noté $E:=[0,1]$, et le n-cube unitaire est noté E^d. Une fonction continue f est définie sur E^d (de E^d vers lui-même) . Souvent, on suppose que f est non seulement continue mais aussi Lipschitzienne, c'est-à-dire que pour une constante L, $|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|$ pour tout x,y dans E ^d .

Un point fixe de f est un point x dans E ^d tel que f ( x ) = x . Selon le théorème du point fixe de Brouwer, toute fonction continue de E ^d vers lui-même a un point fixe. Mais pour une fonction quelconque, le problème est indécidable. Les algorithmes de calcul d'un point fixe recherchent des points fixe approchés. Il existe plusieurs critères pour un point fixe approché. Plusieurs critères courants sont :

• Le critère résiduel : étant donné un paramètre d'approximation $\varepsilon >0$. Un ε -point fixe résiduel de f est un point x dans E ^d tel que $|f(x)-x|\leq \varepsilon$, où ici |.| désigne la norme maximale . Autrement dit, toutes les coordonnées d de la différence $f(x)-x$ devrait être au plus ε .
• Le critère absolu : étant donné un paramètre d’approximation $\delta >0$, Un point fixe δ-absolu de f est un point x dans E ^d tel que $|x-x_{0}|\leq \delta$, où $x_{0}$ est n'importe quel point fixe de f.
• Le critère relatif : étant donné un paramètre d'approximation $\delta >0$, Un point fixe δ-relatif de f est un point x dans E ^d tel que $|x-x_{0}|/|x_{0}|\leq \delta$, où $x_{0}$ est n'importe quel point fixe de f.

[[Catégorie:Analyse numérique]]