Utilisateur:Kelam/Bac à sable perso

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Sturm

En géométrie, une spirale de Sturm ou courbe de Mannheim est un type de spirale, caractérisée par la propriété qu'en tout point de la courbe, son rayon de courbure y est proportionnel au vecteur allant d'un pôle fixe au point de la courbe.

Définition

Si l'arc est défini par une équation paramétrique (x(t) , y(t)), alors le rayon de courbure vaut :

$\rho ={\frac {(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})^{3/2}}{x'y''-y'x''}}\quad {\text{avec}}\quad x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t),\quad x''={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}(t),\quad y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)\quad {\mbox{et}}\quad y''={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}(t)$

en particulier en coordonnées polaires, $x(t)=r(t)\cos(t)$, $y(t)=r(t)\sin(t)$ avec $r$ deux fois dérivable,

$\rho ={\frac {(r'^{2}+r^{2})^{3/2}}{2r'^{2}+r^{2}-rr''}}$

quand le dénominateur est non nul.

Une spirale de Sturm est donc caractérisée par l'équation :

$\rho =er,e>0.$

Paramétrisation des courbes

Cas elliptique (e < 1)

L'équation différentielle se résout en

${\begin{cases}x(t)&=a\left((\cos(qt)-e)\cos(t)+q\sin(qt)\sin(t)\right)\\y(t)&=a\left((\cos(qt)-e)\sin(t)-q\sin(qt)\cos(t)\right)\end{cases}},q={\sqrt {1-e^{2}}},t\in \mathbb {R}$

• 
  Spirale de Sturm (q=0,6)
• 
  Spirale de Sturm (q=0,8)
• 
  Spirale de Sturm (q=0,9)

Cas parabolique (e = 1)

Ce cas particulier est une spirale de Norwich :

${\begin{cases}x(t)&={\frac {\cos(\tan(t)-2t)}{\cos ^{2}(t)}}\\y(t)&={\frac {\sin(\tan(t)-2t)}{\cos ^{2}(t)}}\end{cases}},|t|<{\frac {\pi }{2}}$

• 
  Spirale de Norwich

Cas hyperbolique (e > 1)

L'équation différentielle se résout en

${\begin{cases}x(t)&=a\left((\cosh(qt)\pm e)\cos(t)-q\sinh(qt)\sin(t)\right)\\y(t)&=a\left((\cosh(qt)\mp e)\sin(t)+q\sinh(qt)\cos(t)\right)\end{cases}},q={\sqrt {e^{2}-1}},t\in \mathbb {R}$

Propriétés

Elles sont liées aux courbes de Duporcq : la roulette sur une droite passant par le pôle d'une spirale de Sturm est une courbe de Duporcq.

Références

https://mathcurve.com/courbes2d/sturm/sturmgene.shtml

https://www.researchgate.net/publication/235800459_On_the_Generalized_Sturmian_Spirals

http://archive.numdam.org/item/NAM_1914_4_14__97_0.pdf

http://christophe.masurel.free.fr/pdf/Duporcq%20Sturm%20curves%209.pdf

Norwich

En géométrie, la spirale de Sturm est un type de spirale, caractérisée par la propriété qu'elle partage avec le cercle : en tout point de la courbe, son rayon de courbure y est égal au vecteur allant d'un pôle fixe au point de la courbe (d'où le nom de radioïde aux cordes).

Définition

Si l'arc est défini par une équation paramétrique (x(t) , y(t)), alors le rayon de courbure vaut :

$\rho ={\frac {(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})^{3/2}}{x'y''-y'x''}}\quad {\text{avec}}\quad x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t),\quad x''={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}(t),\quad y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)\quad {\mbox{et}}\quad y''={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}(t)$

en particulier en coordonnées polaires, $x(t)=r(t)\cos(t)$, $y(t)=r(t)\sin(t)$ avec $r$ deux fois dérivable,

$\rho ={\frac {(r'^{2}+r^{2})^{3/2}}{2r'^{2}+r^{2}-rr''}}$

quand le dénominateur est non nul.

Une spirale de Sturm est donc caractérisée par l'équation :

$\rho =r.$

Paramétrisation des courbes

L'équation différentielle se résout en :

${\begin{cases}x(t)&={\dfrac {\cos(\tan(t)-2t)}{\cos ^{2}(t)}}\\[6pt]y(t)&={\dfrac {\sin(\tan(t)-2t)}{\cos ^{2}(t)}}\end{cases}},|t|<{\frac {\pi }{2}}$

ou, en coordonnées polaires :

${\begin{cases}r(t)&={\dfrac {1}{\cos ^{2}(t)}}\\[6pt]\theta (t)&=\tan(t)-2t\end{cases}},|t|<{\frac {\pi }{2}}$

• 
  Spirale de Norwich

Propriétés

La spirale de Norwich est une courbe développante seconde du cercle : sa développée est une développante du cercle.

La spirale de Norwich est l'antipodaire de la spirale de Galilée d'équation $r=(\theta ^{2}-1)$.

La roulette du pôle d'une spirale de Norwich roulant sur une droite est une cubique de Tschirnhausen. La droite est alors la normale double à la cubique.

La spirale de Norwich est asymptote à la spirale de Galilée : $r=1+(\theta +\pi )^{2}$.

Références

https://www.mathcurve.com/courbes2d/sturm/spirale_sturm.shtml

https://www.researchgate.net/publication/235800459_On_the_Generalized_Sturmian_Spirals

http://archive.numdam.org/item/NAM_1914_4_14__97_0.pdf