Utilisateur:Claudeh5/entieres

Mark Aronovich Naimark (russe : Марк Ароно́вич Наймарк) (December 5, 1909–December 30, 1978) was a Soviet mathematician.

He was born in Odessa, Russian Empire (today's Ukraine) into a Jewish family and died in Moscow, USSR. He received his PhD in 1943 from the Steklov Institute of Mathematics.

Work

He is known for e.g.

• the Gelfand–Naimark theorem;
• the Gelfand–Naimark–Segal construction
• the representation theory of the complex classical Lie groups;

Publications

• Unitary representations of the classical group (with I. M. Gelfand, 1950)
• Linear Differential operators, 1954
• Normed Rings, 1956
• Linear Representations of the Lorentz Group, 1958
• Theory of Group Representations, 1974

(all the above books were written in Russian)

See also

• Naimark's problem
• Naimark's dilation theorem

External links

• (en) « Claudeh5/entieres », sur le site du Mathematics Genealogy Project
• Modèle:MacTutor Biography

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En analyse complexe, une fonction entière est une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. C'est le cas notamment de la fonction exponentielle complexe, des fonctions polynômes et de leurs combinaisons par composition, somme et produit, telles que sinus, cosinus et les fonctions hyperboliques.

Le quotient de deux fonctions entières est une fonction méromorphe.

Considérée comme un cas particulier de la théorie des fonctions analytiques, la théorie élémentaire des fonctions entières ne fait que tirer les conséquences de la théorie générale. C'est celle que l'on voit essentiellement dans un premier cours sur la théorie des fonctions complexes (souvent enrichi du théorème de factorisation de Weiestrass). Mais l'étude, commencée depuis le milieu du XIX^e siècle, par Cauchy, Laguerre, Weierstrass,... s'est considérablement enrichie sous l'impulsion de Borel, Hadamard, Montel, Valiron, Blumenthal,... (sans oublié Nevanlinna) et constitue maintenant une imposante théorie.

Dans la suite, on ne trouvera qu'un pâle résumé de cette théorie.

La théorie des fonctions entières se fixe comme buts de classifier les fonctions entières selon leurs croissance, de préciser le lien entre les coefficients de Taylor de la fonction et la croissance, le lien entre les zéros éventuels et le comportement de la fonction, et les relations entre la fonction et ses dérivées sur ces questions.

La théorie des fonctions entières a été étendue aux fonctions méromorphes.

Théorie élémentaire

Soit f une fonction analytique complexe holomorphe en z. Elle est développable en série entière autour du point z selon la formule de Taylor-MacLaurin

$f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}(s-z)^{n}}.$

La théorie des séries entières montre que la série précédente convergence absolument et uniformément dans le disque ouvert de centre z et de rayon R donné par la formule de Cauchy-Hadamard

${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{1/n}.$

Le principal résultat de la théorie des fonctions analytique complexe est que le rayon de convergence est déterminé par la distance $R$entre le point $z$ et la singularité la plus proche.

On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière lorsque qu'elle est holomorphe en tout point du plan complexe.Elle n'a donc pas de singularité à distance finie.

Rappelons qu'une fonction holomorphe en un point y est indéfiniment dérivable.

Soit f une fonction entière. Comme toute fonction analytique holomorphe en un point, elle est developpable en série entière convergente de la forme

$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$

et, n'ayant d'autre singularité que le point à l'infini,le rayon de convergence est infini. Autrement dit, la série converge quelque soit la valeur de z.

On a donc

$\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{1/n}=0.$

Et il en est de même de chacune de ses dérivées qui sont entières également.

La formule de Cauchy

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{{\frac {f(s)}{s-z}}ds}$

permet, en développant la fraction 1/(s-z) en série entière, d'identifier les coefficients de Taylor à des intégrales:

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{{\frac {f(s)}{(s-z)^{n+1}}}ds}.$

Dans les deux cas $\gamma$ est un chemin fermé sans boucle contenant z.

les inégalités de Cauchy

Dans la formule intégrale donnant les coefficients, en appelant $M(R)$ le maximum du module de la fonction sur le disque de centre z et de rayon R, une majoration simple donne les inestimables inégalités de Cauchy

$|a_{n}|\leq {\frac {M(R)}{R^{n}}}.$

Le théorème de Liouville

Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville:

« Si une fonction entière est bornée, alors elle est constante. »

Une démonstration possible est l'application des inégalités de Cauchy en remarquant que $M(R)$ est alors borné quelque soit $R$. Il suffit donc de faire tendre $R$ vers l'infini pour avoir le résultat.

• Cela peut être utilisé pour fournir une démonstration élégante, par l'absurde, du théorème de d'Alembert-Gauss:

«  tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes comptées avec leur multiplicité »

• Le petit théorème de Picard renforce considérablement le théorème de Liouville:

«  Toute fonction entière non constante prend, sur le plan complexe, toutes les valeurs sauf une au plus. »

Propriétés algébriques

• Une fonction holomorphe définie sur un ouvert connexe s'étend en une fonction entière si et seulement si le rayon de convergence de sa série de Taylor est infini en un point quelconque de son domaine.

• L'ensemble des fonctions entières est stable par composition et forme une sous-algèbre complexe de l'espace des fonctions continues du plan complexe dans lui-même.

Le module maximum des fonctions entières

On dit d'une fonction analytique complexe qu'elle est entière lorsqu'elle est définie sur le plan complexe tout entier et holomorphe en chaque point. Elle ne présente donc que le point à l'infini pour seule singularité.

On pose

$M_{f}(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|.$

Cette fonction croît monotonement, par suite du principe du maximum. Et, en corollaire du théorème de Liouville, elle n'est pas bornée pour les fonctions entières non constantes.

Elle est appelée module maximum de la fonction $f$.

« La fonction $\ln M_{f}(r)$ est une fonction convexe de $\ln r$.(Hadamard)  »

« La fonction $\ln M_{f}(r)$ est continue et analytique par intervalles. (Blumenthal) »

En conséquence de la convexité, $\ln M_{f}(r)$ admet une dérivée à droite et à gauche. Elles sont croissantes. Il existe une fonction $v(t)$ croissante (mais pas nécessairement continue) telle que

$\ln M(r)=\ln M(1)+\int _{1}^{r}{v(u){\frac {du}{u}}}.$

Croissance des fonctions entières

Par suite du théorème fondamental de l'algèbre, un polynôme de degré n admet n racines dans $\mathbb {C}$. Donc, plus un polynôme admet de zéros, plus il croît rapidement.

Ceci est aussi le cas des fonctions entières mais d'une manière plus complexe. La relation entre la croissance des fonctions entières et la répartition de ses zéros constitue l'un des thèmes principaux de la théorie des fonctions entières.

Si pour une valeurs quelconque $\lambda$, on a

$\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {M_{f}(r)}{r^{\lambda }}}=0$

la fonction f est un polynôme de degré au plus égal à $\lambda$.

Lorsque l'égalité précédente n'a lieu pour aucune valeur de $\lambda$, on compare la croissance de $M_{f}(r)$ à $\exp(r^{k})$. Si l'on a, à partir d'une valeur $r_{0}$ de $r$, l'inégalité

$M_{f}(r)<\exp(r^{k}),$

on dit que la fonction est d'ordre fini. L'ordre (supérieur) de croissance de $f$ est donné par la formule

$\rho =\rho _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln \ln M_{f}(r)}{\ln r}}.$

On distingue, parmi les fonctions entières de même ordre $\rho$, les fonctions de type $\sigma _{f}$ défini par la formule

$\sigma _{f}=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho }}}.$

Selon la valeur de $\sigma _{f}$, on distingue le type minimal ($\sigma _{f}=0$), normal ($0<\sigma _{f}<\infty$) ou maximal ($\sigma _{f}=\infty$).

On montre les résultats suivants:

• $\rho _{f+g}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})$
• $\rho _{fg}\leq \max(\rho _{f},\rho _{g})$
• $\sigma _{f+g}\leq \max(\sigma _{f},\sigma _{g})$
• $\sigma _{fg}\leq \sigma _{f}+\sigma _{g}$

Relation entre les coefficients et la croissance

• Si la fonction entière est telle que

$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$

et que

$M_{f}(r)<e^{Ar^{k}}$

pour $r$ suffisamment grand,

alors on a

$|a_{n}|\leq {\Big (}{\frac {eAk}{n}}{\Big )}^{n/k}$

pour $n$ suffisamment grand.

• Réciproquement, si l'on a

$|a_{n}|\leq {\Big (}{\frac {eAk}{n}}{\Big )}^{n/k}$

pour $n$ suffisamment grand, alors, pour tout $\epsilon >0$,

$M_{f}(r)<e^{(A+\epsilon )r^{k}}$

pour $r$ suffisamment grand.

De ce résultat on déduit

« L'ordre de la fonction entière est déterminé par la formule

$\rho _{f}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n\ln n}{\ln 1/|a_{n}|}}.$

Le type de la fonction entière est déterminé par la formule

$\sigma _{f}={\frac {1}{\rho e}}\limsup _{n\rightarrow \infty }n|a_{n}|^{n/\rho }.$ »

L'ordre de la dérivée d'une fonction entière

«  L'ordre de la dérivée d'une fonction entière est égal à l'ordre de cette fonction. »

Et, comme une fonction entière est indéfiniment dérivable, il en est de même de toutes ses dérivées.

Ordre inférieur et ordre précisé L

Pour comparer plus finement la croissance des fonctions entières, on est amené à regarder l'ordre inférieur de croissance, défini par la quantité

$\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{\ln r}}.$

On montre que

«  L'ordre inférieur de la dérivée d'une fonction entière est égal à l'ordre inférieur de cette fonction. »

Mais cela ne suffit pas. On montre l'existence, pour une fonction entière $f$ d'ordre fini $\rho$, d'une fonction $\rho (r)$ ayant les propriétés suivantes:

• $\rho (r)$ est définie et continue, dérivable à droite et à gauche en chaque point.
• $\lim _{r\rightarrow \infty }\rho (r)=\rho$
• $\lim _{r\rightarrow \infty }\rho '(r)r\ln r=0$
• $\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho (r)}}}=1.$

On a ainsi défini un ordre précisé L de $f$.

La formule de Jensen et l'exposant de convergence des zéros

Cette formule est fondamentale dans la suite de la théorie, même si elle n'intervient pas explicitement. On la démontre par exemple par l'emploi de la formule de Green.

On a, pour une fonction ayant des zéros aux points $a_{k}$, ne présentant aucun pôle dans le disque $r<\rho$ et en posant $x=re^{i\varphi }$

$\ln |f(re^{i\varphi })|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln |f(\rho e^{iu}|{\frac {(\rho ^{2}-r^{2})}{\rho ^{2}+r^{2}-2r\rho \cos(u-\varphi )}}du-\sum _{k}\ln {\Big |}{\frac {\rho ^{2}-{\bar {a_{k}}}x}{\rho (x-a_{k})}}{\Big |}$

Cette formule est la formule de Poisson-Jensen.

On en déduit la formule de Jensen:

Soit $f(s)=$ une fonction entière ayant tous ses zéros $a_{k}$ dans le disque de rayon $\rho$. On appelle $n(x)$ le nombre de zéros de modules inférieurs ou égaux à $x$.

on a ainsi

$\sum _{k}\ln {\frac {r}{|a_{k}|}}=\int _{0}^{r}n(u){\frac {du}{u}}=W(r)$

et ainsi, pour une fonction non nulle en 0, on trouve la forme suivante de la formule de Jensen:

$W(r)+\ln |f(0)|<\ln M(r).$

Pour une fonction entière d'ordre $\rho$ fini, on voit que $n(r)<r^{\rho +\epsilon }$.

On en déduit que la série

$\sum _{k}{\frac {1}{|a_{k}|^{\tau }}}$

est convergente pour $\tau >\rho .$

On appelle ainsi ordre réel (Borel) ou exposant de convergence de la suite des zéros la valeur de $\tau$ la plus petite pour laquelle la série converge. On en déduit donc ce théorème de Borel:

«  L'exposant de convergence de la suite des zéros est au plus égal à l'ordre. »

Factorisation des fonctions entières d'ordre fini

Le théorème de factorisation de Weierstrass

Du developpement de

$\ln(1-u)=-u-{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots -{\frac {u^{n}}{n}}-\ldots$

on déduit que la fonction

$E(u,m)=(1-u)e^{u+u^{2}/2+\ldots +u^{m}/m},$

où l'on reconnaît le précédent développement limité aux m premiers termes, est sensiblement égale à 1 sauf dans un voisinage de u=1 où elle admet un zéro d'ordre 1.

Ces facteurs $E(u,m)$ sont appelés facteurs primaires de Weiestrass. Avec eux, Weierstrass a montré le théorème de factorisation des fonctions entières:

«  Soit f une fonction entière d'ordre fini $\rho$ et s'annulant sur les points d'affixes $a_{n}\neq 0$. Alors, il existe un polynome $P(s)$ de degré inférieur ou égal à $\rho$, et un entier $m\leq \rho$ tel que l'on ait

$f(s)=z^{p}\exp(P(s))\prod _{n=1}^{\infty }E({\frac {s}{a_{n}}},m)$ »

Par la suite, Borel a précisé m et le degré du polynôme. Le facteur $z^{p}$ n'est là que pour les fonctions entières ayant un zéro d'ordre p en 0.

« Le degré de $P$ est égal à la partie entière de l'ordre $\rho$ si $\rho$ n'est pas entier. Il peut prendre la valeur $\rho$ ou la valeur $\rho -1$ si l'ordre $\rho$ est entier. L'entier $m$ est majoré par $\rho$. L'un des deux entiers au moins est égal à $\rho$ si l'ordre est entier. »

Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

Le théorème de Hadamard

Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini $\rho ,$

« Pour toute fonction méromorphe $f(s)$ d'ordre fini $\rho$ il existe deux entiers $m_{1}$ et $m_{2}$ plus petits que $\rho$, et un polynôme $q(s)$ de degré inférieur à $\rho$ tels que $f(s)=e^{q(s)}{\frac {p_{1}(s)}{p_{2}(s)}},$ où $p_{1}(s)$ et $p_{2}(s)$ sont des produits de fonctions canoniques d'ordres $m_{1}$ et $m_{2}$ batis sur les zéros $a_{i}$ et les pôles $b_{i}$ de $f$. $p_{1}(s)=\prod _{n=1}^{\infty }{E{\Big (}{\frac {s}{a_{n}}},m_{1}{\Big )}},$ $p_{2}(s)=\prod _{n=1}^{\infty }{E{\Big (}{\frac {s}{b_{n}}},m_{2}{\Big )}},$ avec $E(u,m)=(1-u)e^{u+u^{2}/2+\ldots +u^{m}/m},$ »

La connexion entre la croissance et la distribution des zéros

Les fonctions entières d'ordre non-entier

Dans le cas des fonctions entières d'ordre non entier, celles-ci n'admettent aucune valeur exceptionnelle au sens du théorème de Picard. Ces fonctions ont donc une infinité de solutions à l'équation $f(s)=x$, quelque soit la valeur de $x$ et en particulier

«  Toute fonction entière d'ordre non entier admet une infinité de zéros. »

Les fonctions entières d'ordre entier

Si l'ordre est entier, le cas d'exception du théorème de Picard est possible. Dans ce cas, on a la précision suivante apportée par Emile Borel:

« Le nombre $n(x,r)$ des racines de l'équation $f(s)=x$ ne peut être d'un ordre de grandeur inférieur à $\ln M(r)$ que pour une seule valeur de x au plus. »

On montre ainsi qu'il existe des fonctions entières d'ordre entier n'ayant qu'un nombre fini de zéros.

Les fonctions entières et les angles

Supposons une fonction entière d'ordre $rho>1/2$ ayant dans un angle donné un ordre $\rho _{1}<\rho$. Alors cette fonction prend toutes les valeurs sauf une au plus dans tout angle de mesure

«  Une fonction entière d'ordre $\rho >1/2$ est d'ordre $\rho$ dans tout angle de mesure supérieure à $\pi (2-1/\rho )$. »

Le théorème de Carlson

Soit f une fonction entière d'ordre 1 et de type $\sigma _{f}<\pi$. La fonction f est entièrement déterminée par les valeurs {f(n)}, pour n=1, 2, ... De plus, si le type est strictement inférieur à ln 2, alors

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {z(z-1)\ldots (z-n+1)}{n!}}(\Delta ^{n}f)(0)}$ ${\displaystyle }$

Bibliographie

• Boas, entire functions, Dover, 1954,
• Borel, les fonctions entières, Gauthier-Villars, 1928 (deuxième édition)
• Blumenthal, Les fonctions entières d'ordre infini, Cahiers scientifiques, 1914
• Levine, entire functions, AMS,
• Nevanlinna, Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes, Monographies sur la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, 1929
• Valiron, Fonctions convexes et fonctions entières, Bulletin de la SMF, T60, 1932
• Valiron, Les fonctions entières d'ordre nul et d'ordre fini, thèse, 1914
• Valiron, Fonctions entières d'ordre fini et fonctions méromorphes,
• Valiron, Lectures on the general theory of integral functions,
• Valiron, Fonctions entières et fonctions méromorphes d'une variable, mémorial des sciences mathématiques, Gauthier-Villars, 1925.