Théorème de la feuille compacte de Novikov

En mathématiques, le théorème de la feuille compacte de Novikov affirme que tout feuilletage de codimension 1 d'une variété tridimensionnelle compacte dont le revêtement universel n'est pas contractile possède une feuille compacte. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Novikov.

Le théorème de la feuille compacte de Novikov pour S³

C'est un cas particulier du théorème précédent. Tout feuilletage différentiable de codimension 1 de la sphère S³ possède une feuille compacte. Cette feuille est un des tores T² du feuilletage de Reeb.

Il a été démontré par Sergueï Novikov en 1964 et avait été conjecturé antérieurement par Charles Ehresmann, en particulier à partir de l'exemple du feuilletage de Reeb.

Le théorème de la feuille compacte de Novikov pour toute variété tridimensionnelle M³

En 1965, Novikov a généralisé ce théorème pour toute variété tridimensionnelle M³.

Soit M³ une variété fermée tridimensionnelle munie d'un feuilletage F de codimension 1. Sous l'une quelconque des conditions suivantes :

1. Son groupe fondamental $\pi _{1}(M^{3})$ est fini,
2. Son deuxième groupe d'homotopie $\pi _{2}(M^{3})\neq 0$,
3. Il existe une feuille $L\in F$ telle que l'application $\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$ induite par l'inclusion possède un noyau non trivial.

alors F possède une feuille compacte de genre g ≤ 1. Excepté dans le cas(2), où la feuille fermée peut être S² or $RP^{2}$, le feuilletage contient un composant de Reeb.

Ceci peut s'exprimer en termes de revêtement : tout feuilletage de codimension 1 d'une variété tridimensionnelle compacte dont le revêtement universel n'est pas contractile possède une feuille compacte.

Références

• S. Novikov. The topology of foliations//Trudy Moskov. Mat. Obshch, 1965, v. 14, p. 248–278.[lire en ligne]
• I. Tamura. Topology of foliations — AMS, v.97, 2006.
• D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225–255. [1]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Novikov's compact leaf theorem » (voir la liste des auteurs).