Théorème de Wiener-Ikehara

Le théorème de Wiener–Ikehara est un théorème taubérien introduit par Shikao Ikehara (1931). C'est une conséquence du théorème taubérien de Wiener, et peut être utilisé pour démontrer le théorème des nombres premiers (Chandrasekharan, 1969).

Enoncé

Soit A(x) une fonction croissante positive, définie sur [0,+∞[. On suppose que

$f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)\mathrm {e} ^{-xs}\,\mathrm {d} x$

converge pour tout ℜ(s) > 1 vers une fonction ƒ(s) et que pour un certain c positif,

$f(s)-{\frac {c}{s-1}}$

admet un prolongement continu sur la droite ℜ(s) = 1. Alors la limite lorsque x tend vers l'infini de e^−xA(x) vaut c.

Application à la fonction zêta

Une application importante en théorie des nombres du théorème de Wiener–Ikehara porte sur les séries de Dirichlet de la forme

$\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}$

où a(n) est positive. Si la série converge vers une fonction analytique sur

$\Re (s)\geq b$

avec un pôle simple de résidu c en s = b, alors

$\sum _{n\leq X}a(n)\sim {\frac {c}{b}}X^{b}.$

En applicant cela à la dérivée logarithmique de la fonction zêta de Riemann, où les coefficients la série de Dirichlet sont donnés par la fonction de von Mangoldt, il est possible de déduire le théorème des nombres premiers du fait que la fonction zeta ne s'annule pas sur la droite

$\Re (s)=1.$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wiener–Ikehara theorem » (voir la liste des auteurs).
•  S. Ikehara, « An extension of Landau's theorem in the analytic theory of numbers », Journal of Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of Technology, vol. 10,‎ 1931, p. 1–12 (zbMATH 0001.12902)
•  Norbert Wiener, « Tauberian Theorems », Annals of Mathematics, vol. 33, n^o 1,‎ 1932, p. 1–100 (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1968102, JSTOR 1968102)
• K. Chandrasekharan, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften », 1969 (ISBN 3-540-04141-9, lire en ligne)
• Hugh L. Montgomery et Robert C. Vaughan, Multiplicative number theory I. Classical theory, vol. 97, Cambridge, Cambridge Univ. Press, coll. « Cambridge tracts in advanced mathematics », 2007, 259–266 p. (ISBN 0-521-84903-9)