Théorème taubérien de Wiener

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème taubérien de Wiener fait référence à plusieurs résultats analogues démontrés par Norbert Wiener en 1932^[1]. Ils donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour pouvoir approximer une fonction des espaces $L 1$ ou $L 2$ par des combinaisons linéaires de translatées d'une fonction donnée^[2].

La condition pour l'espace $L 1$ [modifier | modifier le code]

Soit $f \in L 1 (R)$ une fonction intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de $f$ , $f a (x)$ = $f (x + a)$ , est dense dans $L 1 (R)$ si et seulement si la transformée de Fourier de $f$ ne s'annule pas dans R.

Reformulation taubérienne[modifier | modifier le code]

Le résultat suivant, équivalent à l'énoncé précédent, explique pourquoi le théorème de Wiener est un théorème taubérien :

Supposons que la transformée de Fourier de $f \in L 1$ n'ait pas de zéros réels, et que le produit de convolution $f * h$ tende vers zéro à l'infini pour une certaine fonction $h \in L \infty$ . Alors le produit de convolution $g * h$ tend vers zéro à l'infini pour tout $g \in L 1$ .

Plus généralement, si $\lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,{\rm {d}}x$ pour une certaine fonction $f \in L 1$ dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, alors on a également $\lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,{\rm {d}}x$ pour tout $g \in L 1$ .

Version discrète[modifier | modifier le code]

Le théorème de Wiener possède un analogue dans $l 1 (Z)$ : le sous-espace engendré par les translatées, $f \in l 1 (Z)$ est dense si et seulement si la transformée de Fourier discrète $\varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n){\rm {e}}^{-{\rm {i}}n\theta }$ ne s'annule pas dans R. Les énoncés suivants sont équivalents à ce résultat :

Soit $f \in l 1 (Z)$ une suite dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, et telle que le produit de convolution discret $f * h$ tend vers 0 à l'infini pour une suite bornée $h$ . Alors il en est de même de $g * h$ pour toute suite $g \in l 1 (Z)$ .
Soit $φ$ une fonction définie sur le cercle unité dont la série de Fourier converge absolument. Alors la série de Fourier de $1/ φ$ converge absolument si et seulement si $φ$ ne s'annule pas.

Israel Gelfand a montré^[3] que ces résultats sont équivalents à la propriété suivante de l'algèbre de Wiener (en) $A (T)$ :

Les idéaux maximaux de $A (T)$ sont tous de la forme $M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\,\mid \,f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .\,$

Gelfand démontra cette équivalence en utilisant les propriétés des algèbres de Banach, obtenant ainsi une nouvelle démonstration du résultat de Wiener.

La condition pour l'espace $L 2$ [modifier | modifier le code]

Soit $f \in L 2 (R)$ une fonction de carré intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de $f$ , $f a (x)$ = $f (x + a)$ , est dense dans $L 2 (R)$ si et seulement si l'ensemble des zéros réels de la transformée de Fourier de $f$ est négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulle.

Le résultat correspondant pour les suites de $l 2 (Z)$ est : Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées d'une suite $f \in l 2 (Z)$ est dense si et seulement si l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier $\varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n){\rm {e}}^{-{\rm {i}}n\theta }$ est négligeable.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wiener's tauberian theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ Voir (en) N. Wiener, « Tauberian Theorems », Annals of Math., vol. 33, n^o 1,‎ 1932, p. 1-100 (JSTOR 1968102).
↑ Voir (en) Walter Rudin, Functional analysis, New York, McGraw-Hill, Inc., coll. « International Series in Pure and Applied Mathematics », 1991, 424 p. (ISBN 0-07-054236-8, MR 1157815).
↑ (de) I. Gelfand, « Normierte Ringe », Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S., vol. 9, n^o 51,‎ 1941, p. 3-24 (MR 0004726) et
(de) « Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale », Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S., vol. 9, n^o 51,‎ 1941, p. 51-66 (MR 0004727).