Théorème taubérien de Wiener

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème taubérien de Wiener fait référence à plusieurs résultats analogues démontrés par Norbert Wiener en 1932[1]. Ils donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour pouvoir approximer une fonction des espaces L1 ou L2 par des combinaisons linéaires de translations d'une fonction donnée[2].

La condition pour l'espace L1[modifier | modifier le code]

Soit f ∈ L1(R) une fonction intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translations de f, fa(x) = f(x+a), est dense dans L1(R) si et seulement si la transformée de Fourier de f ne s'annule pas dans R.

Reformulation taubérienne[modifier | modifier le code]

Le résultat suivant, équivalent à l'énoncé précédent, explique pourquoi le théorème de Wiener est un théorème taubérien :

Supposons que la transformée de Fourier de f ∈ L1 n'ait pas de zéros réels, et que le produit de convolution f  * h tende vers zéro à l'infini pour une certaine fonction h ∈ L. Alors le produit de convolution g * h tend vers zéro à l'infini pour tout g ∈ L1.

Plus généralement, si pour une certaine fonction f ∈ L1 dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, alors on a également pour tout g ∈ L1.

Version discrète[modifier | modifier le code]

Le théorème de Wiener possède un analogue dans l1(Z) : le sous-espace engendré par les translations,f ∈ l1(Z) est dense si et seulement si la transformée de Fourier discrète ne s'annule pas dans R. Les énoncés suivants sont équivalents à ce résultat :

  • Soit f ∈ l1(Z) une suite dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, et telle que le produit de convolution discret f * h tend vers 0 à l'infini pour une suite bornée h. Alors il en est de même de g * h pour toute suite g ∈ l1(Z).
  • Soit φ une fonction définie sur le cercle unité dont la série de Fourier converge absolument. Alors la série de Fourier de 1/φ converge absolument si et seulement si φ ne s'annule pas.

Israel Gelfand a montré[3] que ces résultats sont équivalents à la propriété suivante de l'algèbre de Wiener (en) A(T) :

  • Les idéaux maximaux de A(T) sont tous de la forme

Gelfand démontra cette équivalence en utilisant les propriétés des algèbres de Banach, obtenant ainsi une nouvelle démonstration du résultat de Wiener.

La condition pour l'espace L2[modifier | modifier le code]

Soit f ∈ L2(R) une fonction de carré intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translations de f, fa(x) = f(x+a), est dense dans L2(R) si et seulement si l'ensemble des zéros réels de la transformée de Fourier de f est négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulle.

Le résultat correspondant pour les suites de l2(Z) est : Le sous-espace vectoriel engendré par les translations d'une suitef ∈ l2(Z) est dense si et seulement si l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier est négligeable.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Voir Wiener 1932.
  2. Voir Rudin 1991.
  3. (de) I. Gelfand, « Normierte Ringe », Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S., vol. 9 (51),‎ , p. 3–24 et
    (de) « Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale », Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S., vol. 9 (51),‎ , p. 51–66

Références[modifier | modifier le code]

  • W. Rudin, Functional analysis, New York, McGraw-Hill, Inc., coll. « International Series in Pure and Applied Mathematics », (ISBN 0-07-054236-8)
  • (en) N. Wiener, « Tauberian Theorems », Annals of Math., vol. 33, no 1,‎ , p. 1–100 (JSTOR 1968102)

Lien externe[modifier | modifier le code]