Théorème de Lebesgue-Vitali

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, le théorème de Lebesgue-Vitali (ou théorème de convergence de Vitali) est un théorème qui donne une condition nécessaire et suffisante pour passer d'une convergence en mesure vers une convergence dans les espaces $L^{p}$ pour des fonctions mesurables. Il est une généralisation du théorème de convergence dominée.

Initialement, le théorème a été énoncé pour des mesures finies mais ce dernier peut se généraliser à des mesures quelconques sous couvert de rajouter une hypothèse de type tension sur la suite de fonctions.

Prolégomènes

Soit $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré. Soit ${\mathcal {F}}$ une famille de fonctions intégrables définies sur $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ à valeurs dans $\mathbb {R}$.

On dit que la famille ${\mathcal {F}}$ :

• est uniformément intégrable si $\forall \varepsilon >0,\,\exists C,\,\forall f\in {\mathcal {F}},\,\int _{|f|>C}|f|d\mu <\varepsilon$.
• a des intégrales uniformément absolument continues si $\forall \varepsilon >0,\,\exists \delta >0,\,\forall A\in {\mathcal {A}}{\text{ tel que }}\mu (A)<\delta ,\,\forall f\in {\mathcal {F}},\,\int _{A}|f|d\mu <\varepsilon$.
• est tendue si $\forall \varepsilon >0,\,\exists K\in {\mathcal {A}}{\text{ tel que }}\mu (K)<\infty {\text{ et }}\forall f\in {\mathcal {F}},\,\int _{X\setminus K}|f|d\mu <\varepsilon$.
• bornée dans $L^{1}$ si $\exists M,\,\forall f\in {\mathcal {F}},\int |f|d\mu <M$.

La définition donnée ici d'intégrales uniformément absolument continues est quelquefois utilisée comme définition d'intégrabilité uniforme par certains auteurs. Il faut donc faire attention, la définition d'intégrabilité uniforme choisie ici correspond à celle habituellement utilisée en théorie des probabilités.

Si $\mu$ est une mesure finie, alors ${\mathcal {F}}$ est uniformément intégrable si et seulement si elle est bornée dans $L^{1}$ et a des intégrales uniformément absolument continues.

Si $\mu$ est finie et n'a pas d'atomes, alors ${\mathcal {F}}$ est uniformément intégrable si et seulement si elle a des intégrales uniformément absolument continues.

Enoncé

Enoncé général

Soit $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré, $p\in [1,+\infty [$ et $f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:X\to \mathbb {R}$ des fonctions mesurables telles que les $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sont dans $L^{p}$ (on ne suppose rien d'autre pour $f$). Alors $f\in L^{p}$ et $f_{n}\to f$ dans $L^{p}$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

1. La suite $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge en mesure vers $f$.
2. La famille $(f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }$ a des intégrales uniformément absolument continues.
3. La famille $(f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }$ est tendue.

Enoncé pour une mesure finie ou dans le cadre des probabilités

Dans le cas où $\mu$ est une mesure finie (c'est le cas par exemple si $\mu$ est une mesure de probabilités), alors la condition 3 est toujours vérifiée (avec $K=X$). De plus, dans ce cas, on peut montrer que les conditions 1 et 2 sont équivalentes aux conditions 1 et 2' où 2' correspond au fait que la famille $(f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }$ est uniformément intégrable. Autrement dit on a le résultat suivant :

Soit $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré avec $\mu (X)<\infty$, $p\in [1,+\infty [$ et $f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:X\to \mathbb {R}$ des fonctions mesurables telles que les $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sont dans $L^{p}$ (on ne suppose rien d'autre pour $f$). Alors $f\in L^{p}$ et $f_{n}\to f$ dans $L^{p}$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. La suite $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge en mesure vers $f$.
2. La famille $(f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }$ est uniformément intégrable.