Théorème de Hille-Yosida

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En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné A : D(A) \subset X \longrightarrow X à l'existence et l'unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E)

\begin{cases} x'(t) = Ax(t) \\ x(0) = x_0 \end{cases}.

Ce résultat permet notamment de donner l'existence, l'unicité et la régularité des solutions d'une équations aux dérivées partielles plus efficacement que le théorème de Cauchy-Lipschitz-Picard, plus adapté aux équations différentielles ordinaires.

Einar Hille (de) (1894-1980) à droite
Kōsaku Yosida (1909-1990)

Semi-groupes[modifier | modifier le code]

La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit X un espace de Banach ; on dit que la famille d'opérateurs linéaires \left(S(t)\right)_{t\geq0} est un semi-groupe (fortement continu) si :

  1. \forall t\geq 0, ~ S(t)\in\mathcal{L}(X)
  2. S(0) = \mathrm{Id}_{\mathcal{L}(X)}
  3. \forall (s,t) \geq 0, ~ S(s+t) = S(s) \circ S(t)
  4. \forall x \in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0^+}S(t)x=x

La condition 4 est équivalente à ce que \forall x\in X, ~ t \mapsto S(t)x ~ \in \mathcal{C}^0(\R^+,X).

Si on remplace 4 par : \lim_{t \rightarrow 0^+}\|S(t)-Id\|_{\mathcal{L}(X)}=0 on dit que \left(S(t)\right)_{t\geq0} est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des équations différentielles ordinaires.

On définit le générateur infinitésimal (A,D(A)) d'un semi-groupe fortement continu \left(S(t)\right)_{t \geq 0} comme l'opérateur non borné A : D(A) \subset X \longrightarrow X où :

D(A)=\left\{ x\in X, ~ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t} \text{ existe}\right\}
\forall x \in D(A), ~ Ax = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{S(t)x -x}{t}
Dans le cas où D(A)=X et A \in \mathcal{L}(X) la famille d'opérateurs \left(e^{tA}\right)_{t \geq 0} (définie classiquement par sa série) est un semi-groupe fortement continu de générateur infinitésimal A: c'est pourquoi on note parfois abusivement S(t)=e^{tA}.

On dit que le semi-groupe \left(S(t)\right)_{t\geq0} est de contraction si \forall t \ge0, ~\|S(t)\|_{\mathcal{L}(X)}\le 1.

Propriétés des semi-groupes de contraction[modifier | modifier le code]

Théorème 1 — Soit X un espace de Banach, \left(S(t)\right)_{t\geq0} un semi-groupe de contraction sur X et (A,D(A)) son générateur infinitésimal. Alors :

  1. \forall x \in X le flot t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^0(\R^+,X)
  2. \forall x \in D(A) et \forall t \geq 0 on a S(t)x \in D(A), le flot t \mapsto S(t)x \in \mathcal{C}^1(\R^+,X) et vérifie x'(t)=Ax(t)
  3. (A,D(A)) est fermé de domaine dense.

Théorème 2 (Caractérisation des générateurs infinitésimaux) — Soit A : D(A) \subset X \longrightarrow X un opérateur non borné sur X. On a l'équivalence :

  1. (A,D(A)) est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction
  2. D(A) est dense et pour toute condition initiale x_0 \in D(A) il existe une unique solution t \mapsto x(t) \in \mathcal{C}^1(\R^+,X) de (E).

De plus, sous cette hypothèse, la solution x(t) est à valeurs dans D(A) et vérifie \|x(t)\|_X \leq \|x_0\|_X ainsi que \|x'(t)\|_X \le\|Ax(t)\|_X \le\|Ax_0\|_X (inégalités d'énergie).

On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

Opérateurs dissipatifs[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Un opérateur (A,D(A)) est dissipatif si \forall x\in D(A), \forall \lambda >0, ~\|x-\lambda Ax\|\ge\|x\|. Dans le cas où X=H est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si \forall x\in D(A) ,\, \mathfrak{Re}(\langle Ax,x\rangle_H) \leq 0.

Remarque: Si (A,D(A)) est un opérateur dissipatif alors \forall \lambda > 0 l'opérateur (\mathrm{Id}-\lambda A) est injectif car (I-\lambda A)x = 0 \Rightarrow 0 \le\|x\|\le\|(I-\lambda A)x\|=0 \Rightarrow x= 0.

  • Si de plus \forall \lambda >0,  \mathrm{Id} - \lambda A est surjectif on dit que (A,D(A)) est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que \forall \lambda >0,  \mathrm{Id} - \lambda A est surjectif si et seulement si
\exists \lambda_0, \mathrm{Id} - \lambda_0 A ~ \text{surjectif}.

En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur \lambda_0 bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur (\mathrm{Id}-\lambda A) est un isomorphisme (a priori non continu) de L(A,X) et on note J_{\lambda} = (\mathrm{Id}-\lambda A)^{-1}, qu'on appelle la résolvante de A. De plus,

\|J_{\lambda}y\|_X\le\|(\mathrm{Id}-\lambda A)[J_{\lambda}y]\|_X\le\|y\|_X, J_{\lambda} \in \mathcal{L}\left((X,\|.\|_X),(D(A),\|.\|_X)\right).

Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur (D(A),\|.\|_X) en munissant D(A) d'une norme \|.\|_{D(A)}).

Propriétés des opérateurs m-dissipatifs[modifier | modifier le code]

Propriété 1: si (A,D(A)) est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1 : pour x \in D(A) on pose \|x\|_{D(A)}=\|x\|_X+\|Ax\|_X. Alors \|.\|_{D(A)} est une norme pour laquelle D(A) est un espace de Banach et A \in \mathcal{L}\left((D(A),\|.\|_A),(X,\|.\|_X)\right).

Propriété 2 : si H est un espace hilbertien et A : D(A) \subset H \longrightarrow H est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Propriété 3 : réciproquement si A : D(A) \subset H \longrightarrow H est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint (A^*,D(A^*)) est dissipatif alors (A,D(A)) est m-dissipatif.

Corollaire 3 : toujours dans le cadre hilbertien

  1. si (A,D(A)) est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif,
  2. si (A,D(A)) est anti-adjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif.

Remarque : dans ce dernier résultat, la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car (A,D(A)) anti-adjoint entraîne que \langle Ax,x\rangle_H = 0 donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Théorème de Hille-Yosida[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème 3 (Hille-Yosida) — Soit X un espace de Banach et A : D(A) \subset X \longrightarrow X un opérateur non borné. On a l'équivalence

  1. (A,D(A)) est m-dissipatif à domaine dense
  2. (A,D(A)) est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

Le point 1 du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante :

  1. ' (A,D(A)) , opérateur fermé à domaine dense, vérifie  (0,+\infty) \subset \rho(A) et  \|R_\lambda\|_{\mathcal{L}(X)} \leq \frac{1}{\lambda} pour tout \lambda > 0.

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale x_0 \in D(A) il existe une unique solution forte t \mapsto x(t) dans \mathcal{C}^0(\R^+,(D(A),\|.\|_{D(A)})) \cap \mathcal{C}^1(\R^{+*},(X,\|.\|_X)). Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible t \mapsto x(t) = S(t)x de classe seulement \mathcal{C}^0(\R^+,(X,\|.\|_X)) ( et on montre que toute solution faible est limite dans X de solutions fortes).

Régularité des solutions[modifier | modifier le code]

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A : il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de « régularité » à x_0 on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour k\ge2, D(A^k)=\{x \in D(A^{k-1}), ~ Ax \in D(A^{k-1})\}. Alors on a le théorème suivant.

Théorème 4 — On peut munir les D(A^k) des normes \|x\|_{D(A^k)}=\sum_{i=0}^k\|A^ix\| pour lesquels ce sont des espaces de Banach. De plus si la condition initiale x_0 \in D(A^k) alors la solution est de classe \mathcal{C}^k(\R^{+*},X) et \mathcal{C}^{k-i}(\R^{+*},D(A^i)) pour i=1...k et au sens des topologies précédentes.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'équation de la chaleur[modifier | modifier le code]

On se donne \Omega un ouvert borné de classe \mathcal{C}^2 de \R^n et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur

 \begin{cases} \partial_t u(x,t) - \Delta u(x,t)=0 \\ u(x,0) = u_0(x) \end{cases}

sur (x,t)\in \Omega \times [0,+\infty] pour une condition initiale donnée.

On peut réécrire cette équation aux dérivées partielles sous la forme d'une équation différentielle ordinaire y'(t)=Ay(t) en posant X = H = L^2(\Omega), y(t)=u(.,t)\in H et en définissant (A,D(A)) par D(A)=H^2(\Omega) \cap H^1_0(\Omega) \subset L^2(\Omega) et Ax=\Delta x pour tout x \in D(A). Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida ; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif.

Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint :

\langle Au,v\rangle_H=\int_{\Omega}(\Delta u)v = -\int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla v=\int_{\Omega}u(\Delta v ) = \langle u,Av\rangle_H

par double intégration par parties, et que D(A) est dense dans L^2(\Omega), il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que \Re(\langle Ax,x\rangle_H) \leq 0. Or tout x \in D(A)=H^2(\Omega) \cap H^1_0(\Omega) est de trace nulle, donc en intégrant par parties \Re(\langle Ax,x\rangle_H)=-\int_{\Omega}\|\nabla x\|^2_{\R^n} \leq 0.

Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. On remarque de plus que

\frac{d}{dt}\left(\|y(t)\|^2_H\right)=2\langle y'(t),y(t)\rangle_H=2\langle Ay(t),y(t)\rangle_H \le0

On retrouve bien sur le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes[modifier | modifier le code]

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine \Omega suffisamment régulier (c'est-à-dire \mathcal{C}^2 en pratique) et sur un intervalle de temps [0,T) (avec T > 0) selon

\left\{\begin{array}{rcll}u_{tt}(t,x) -\Delta u(t,x) & = & 0 & \forall (t,x) \in (0,T) \times \Omega\\ u(0,x) & = & f(x) & \forall x \in \Omega\\ u_{t}(0,x) & = & g(x) & \forall x \in \Omega \end{array}\right.

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors

\mathcal{A} = \left(\begin{array}{cc} 0 & I \\ \Delta & 0 \end{array}\right), \mathcal{Y} = \left(\begin{array}{c} u \\ v \end{array}\right)

(avec  v = u' ) et

 \mathcal{Y}_0 = \left(\begin{array}{c} f \\ g \end{array}\right).

L'équation devient alors

\left\{\begin{array}{rcll} \mathcal{Y}'(t) & = & \mathcal{A}\mathcal{Y}(t) \\ \mathcal{Y}(0) & = & \mathcal{Y}_0 \end{array}\right. .

Le domaine du Laplacien étant D(\Delta) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) , celui de \mathcal{A} est D(\mathcal{A}) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega) sur  H = H_0^1(\Omega) \times L^2(\Omega) . Les conditions initiales seront alors prises dans H. Le produit scalaire dans H est défini pour tout couple (u,v) dans H ( u = (u_1,u_2) et  v = (v_1,v_2)) par  (u,v)_H = (\nabla u_1,\nabla v_1)_{L^2(\Omega)} + (u_2,v_2)_{L^2(\Omega)}.

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :

  1. D(\mathcal{A}) est dense dans H.
  2. \mathcal{A} est fermé.
  3. \mathcal{A} est dissipatif. Ce point mérite une preuve.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Lumer-Phillips (en)