Théorème de Hille-Yosida

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En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné à l'existence et l'unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E)

.

Ce résultat permet notamment de donner l'existence, l'unicité et la régularité des solutions d'une équations aux dérivées partielles plus efficacement que le théorème de Cauchy-Lipschitz-Picard, plus adapté aux équations différentielles ordinaires.

Einar Hille (de) (1894-1980) à droite
Kōsaku Yosida (1909-1990)

Semi-groupes[modifier | modifier le code]

La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit un espace de Banach ; on dit que la famille d'opérateurs linéaires est un semi-groupe (fortement continu) si :

La condition 4 est équivalente à ce que .

Si on remplace 4 par : on dit que est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des équations différentielles ordinaires.

On définit le générateur infinitésimal d'un semi-groupe fortement continu comme l'opérateur non borné où :

Dans le cas où et la famille d'opérateurs (définie classiquement par sa série) est un semi-groupe fortement continu de générateur infinitésimal : c'est pourquoi on note parfois abusivement .

On dit que le semi-groupe est de contraction si .

Propriétés des semi-groupes de contraction[modifier | modifier le code]

Théorème 1 — Soit un espace de Banach, un semi-groupe de contraction sur et son générateur infinitésimal. Alors :

  1. le flot
  2. et on a , le flot et vérifie
  3. est fermé de domaine dense.

Théorème 2 (Caractérisation des générateurs infinitésimaux) — Soit un opérateur non borné sur . On a l'équivalence :

  1. est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction
  2. est dense et pour toute condition initiale il existe une unique solution de (E).

De plus, sous cette hypothèse, la solution est à valeurs dans et vérifie ainsi que (inégalités d'énergie).

On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

Opérateurs dissipatifs[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Un opérateur est dissipatif si . Dans le cas où est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si .

Remarque: Si est un opérateur dissipatif alors l'opérateur est injectif car .

  • Si de plus , est surjectif on dit que est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que , est surjectif si et seulement si
.

En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur est un isomorphisme (a priori non continu) de et on note , qu'on appelle la résolvante de A. De plus,

, .

Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur en munissant d'une norme ).

Propriétés des opérateurs m-dissipatifs[modifier | modifier le code]

Propriété 1: si est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1 : pour on pose . Alors est une norme pour laquelle est un espace de Banach et .

Propriété 2 : si est un espace hilbertien et est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Propriété 3 : réciproquement si est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint est dissipatif alors est m-dissipatif.

Corollaire 3 : toujours dans le cadre hilbertien

  1. si est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif,
  2. si est anti-adjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif.

Remarque : dans ce dernier résultat, la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car anti-adjoint entraîne que donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Théorème de Hille-Yosida[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème 3 (Hille-Yosida) — Soit un espace de Banach et un opérateur non borné. On a l'équivalence

  1. est m-dissipatif à domaine dense
  2. est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction

Le point 1 du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante :

  1. ' , opérateur fermé à domaine dense, vérifie et pour tout .

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale il existe une unique solution forte dans . Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible de classe seulement ( et on montre que toute solution faible est limite dans de solutions fortes).

Régularité des solutions[modifier | modifier le code]

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A : il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de « régularité » à on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour , . Alors on a le théorème suivant.

Théorème 4 — On peut munir les des normes pour lesquels ce sont des espaces de Banach. De plus si la condition initiale alors la solution est de classe et pour et au sens des topologies précédentes.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'équation de la chaleur[modifier | modifier le code]

On se donne un ouvert borné de classe de et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur

sur pour une condition initiale donnée.

On peut réécrire cette équation aux dérivées partielles sous la forme d'une équation différentielle ordinaire en posant , et en définissant par et pour tout . Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida ; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif.

Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint :

par double intégration par parties, et que est dense dans , il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que . Or tout est de trace nulle, donc en intégrant par parties .

Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. On remarque de plus que

On retrouve, bien sûr, le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes[modifier | modifier le code]

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine suffisamment régulier (c'est-à-dire en pratique) et sur un intervalle de temps (avec ) selon

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors

,

(avec ) et

L'équation devient alors

.

Le domaine du Laplacien étant , celui de est sur . Les conditions initiales seront alors prises dans . Le produit scalaire dans est défini pour tout couple dans ( et ) par

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :

  1. est dense dans .
  2. est fermé.
  3. est dissipatif. Ce point mérite une preuve.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Lumer-Phillips (en)