Théorème d'Erdős-Selfridge
Apparence
En mathématiques, le théorème d'Erdős-Selfridge (à ne pas confondre avec un théorème de théorie des jeux du même nom) est un théorème de la théorie des nombres concernant une équation diophantienne. Il a été démontré par les deux mathématiciens Paul Erdős et John L. Selfridge en 1975[1].
Ce problème traite de la question de savoir si un produit de plusieurs nombres naturels consécutifs peut être une puissance parfaite. Avec leur théorème, Erdős et Selfridge fournissent une solution complète à ce problème et répondent à la question par la négative.
Formulation
[modifier | modifier le code]Énoncé[1] :
- Le produit d'au moins deux entiers naturels non nuls consécutifs n'est jamais une puissance d'entier.
De façon plus formelle :
- L' équation diophantienne
- n'a pas de solution pour des entiers .
NB : le problème pour se résout de manière élémentaire[2].
Théorèmes connexes
[modifier | modifier le code]Paul Erdős a également résolu deux problèmes du même type :
- Le produit de deux ou plusieurs entiers naturels impairs consécutifs n'est jamais une puissance d'entier (Erdős 1939).
- Le coefficient binomial pour n'est jamais une puissance d'entier (Erdős 1951)[3].
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Paul Erdős et János Surányi (trad. Barry Guiduli), Topics in the Theory of Numbers, New York, Springer Verlag, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 2e éd., xviii+287 p. (ISBN 0-387-95320-5, DOI 10.1007/978-1-4613-0015-1)
- Wacław Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, Amsterdam, North-Holland Mathematical Library Band 31, North-Holland, (1re éd. 1964) (ISBN 0-444-86662-0, lire en ligne)
Références
[modifier | modifier le code]- (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Erdős-Selfridge » (voir la liste des auteurs).
- (en) Paul Erdős, J. L. Selfridge, « The product of consecutive integers is never a power », Illinois J. Math, vol. 19, , p. 292–301 (lire en ligne)
- Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre, Ellipses, , p. 69
- Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, , p. 15-18