Suite de composition

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La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes.

Définitions

Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition[1] de G toute suite finie (G0, G1, …, Gr) de sous-groupes de G telle que

et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, Gi+1 soit sous-groupe normal de Gi.
Les quotients Gi/Gi+1 sont appelés les quotients de la suite[2].

  • Soient Σ1 = (G0, G1, …, Gr) et Σ2 = (H0, H1, …, Hs) deux suites de composition de G. On dit que
    • Σ2 est un raffinement[3] de Σ1, ou encore que Σ2 est plus fine[4] que Σ1, si Σ1 est extraite de Σ2, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que Gi = Hj(i) pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
    • Σ1 et Σ2 sont équivalentes[4],[5] si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient Gi/Gi+1 soit isomorphe au quotient Hσ(i)/Hσ(i)+1.
  • Soit Σ = (G0, G1, …, Gr) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
    a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;
    b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;
    c) pour tout i ∈ [0, r – 1], Gi+1 est un sous-groupe distingué maximal[6] de Gi (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de Gi).
    On appelle suite de Jordan-Hölder[7] une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).

Remarque : les auteurs de langue anglaise[8] appellent « composition series » ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.

Quelques faits

  • Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
  • S3 ⊃ A3 ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder.
  • Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.
  • On en déduit[9] que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition strictement décroissante de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
  • Si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient de cette suite est à la fois simple et résoluble, donc est cyclique d'ordre premier, et G est donc fini. En particulier, un groupe commutatif infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder.
  • Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder[10].
  • Théorème de Jordan-Hölder : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.

Généralisation aux groupes à opérateurs

Soient G un groupe à opérateurs et e son élément neutre. On appelle suite de composition[11] de G toute suite finie (G0, G1, …, Gr) de sous-groupes stables de G telle que

et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, Gi+1 soit sous-groupe normal de Gi.
Les quotients Gi/Gi+1 sont appelés les quotients de la suite[2].

Une suite principale d'un groupe peut être considérée comme une suite de Jordan-Hölder d'un certain groupe à opérateurs.

Notes et références

  1. ↑ Définition conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, , ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39, ou encore à J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, , p. 225, ou encore à S. Lang, Algèbre, 3e édition révisée, Paris, 2004, p. 19.
  2. ↑ a et b Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39-40.
  3. ↑ Dénomination conforme à Calais 1984, p. 226.
  4. ↑ a et b Dénomination conforme à Bourbaki, op. cit., p. I.40.
  5. ↑ (en) D. J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, , 2e éd. (lire en ligne), p. 64, dit « isomorphic ».
  6. ↑ Ne pas confondre avec la notion de sous-groupe maximal d'un groupe.
  7. ↑ Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 10, p. 41.
  8. ↑ Voir par exemple Robinson 1996, p. 65.
  9. ↑ Voir par exemple Bourbaki, op. cit., p. I.41-42.
  10. ↑ Bourbaki, op. cit., p. I.42.
  11. ↑ Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39.

Voir aussi

Chaîne de sous-groupes (en)

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