Suite de Robinson

La suite de Robinson^{[Lequel ?][réf. nécessaire]} est une suite mathématique, une modification de la suite de Conway. Dans cette suite, un terme se détermine en comptant combien de fois chaque chiffre apparaît dans le terme précédent.

Définition

Le premier terme de la suite de Robinson est posé comme égal à 0. Chaque terme de la suite se construit ensuite en comptant le nombre d'apparitions des différents chiffres de 9 à 0 (dans cet ordre) dans le terme précédent. Si un chiffre n'apparaît pas, il n'est pas pris en compte.

Concrètement :

$X_{0}=0$

Ce terme comporte juste un « 0 ». Par conséquent, le terme suivant est :

$X_{1}=10$

Celui-ci est composé d'un « 1 » et d'un « 0 » :

$X_{2}=1110$

En poursuivant le procédé :

$X_{3}=3110$

$X_{4}=132110$

$X_{5}=13123110$

$X_{6}=23124110$

$X_{7}=1413223110$

$X_{8}=1423224110$

$X_{9}=2413323110$

$X_{10}=1433223110$

$X_{11}=1433223110.$

La suite stationne donc à la valeur $X_{10}.$

Propriétés

On constate qu'à partir du 11^e terme de la suite, tous les termes sont égaux à $1433223110$. Si le terme initial est choisi entre 1 et 39, la suite atteint également une valeur constante au bout d'un certain nombre de termes. Si $X_{0}=40$, au bout du 10^e terme, la suite oscille entre les valeurs $152423224110$ et $152413423110$. Pour $X_{0}=50$, la suite finit par osciller entre les valeurs $16251423225110$, $16251413424110$ et $16153413225110$.

Il a été montré qu'à partir de toute valeur initiale, la suite finit soit par être constante, soit par osciller entre deux ou trois valeurs.

Bibliographie

• (en) Hervé Lehning, « Computer-aided or analytic proof? », College Mathematics Journal, vol. 21, n^o 3,‎ 1990, p. 228-239 (DOI 10.1080/07468342.1990.11973313).
• (en) Jim Sauerberg et Linghsueh Shu, « The Long and the Short on Counting Sequences », The American Mathematical Monthly, vol. 104, n^o 4,‎ 1997, p. 306-317 (DOI 10.1080/00029890.1997.11990642, JSTOR 2974579, lire en ligne).