Résidu à l'infini

En Analyse complexe, le résidu à l'infini est le résidu d'une fonction holomorphe sur une couronne de rayon extérieur infini. L'infini $\infty$ étant un point ajouté à l'espace localement compact $\mathbb {C}$ pour le rendre compact (il s'agit alors d'une compactification en un point). Cet espace compactifié noté ${\hat {\mathbb {C} }}$ est identifié à la sphère de Riemann.

Soit f une fonction holomorphe sur la couronne $A(0,R,\infty )$.

On définit le résidu à l'infini de la fonction f comme suit :

$\mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$

Intuitivement, on passe de l'étude de $f(z)$ à l'infini à l'étude de $f(1/z)$ à l'origine.

Par ailleurs, $\forall r>R$, on a

$\mathrm {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)dz$

Les relations ci-dessus permettent de renforcer le Théorème des résidus pour calculer certaines intégrales réelles.

Preuve des équivalences

Tel qu'on l'a définit plus haut et en effectuant le changement de variable $w=z^{-1}$ pour passer de $f(w)$ à $f\left(z^{-1}\right)$, on a :

$\mathrm {Res} (f,\infty )={1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r')}{-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)dz$

où l'on a considéré la définition d'un résidu. L'intégrale est indépendante de r' , $0<r'<R^{-1}$ et on peut donc considérer en particulier le cas $r'=r^{-1}$ (avec $r>R$ comme indiqué plus haut).

Le membre de droite prouve la première équivalence puisqu'il correspond à $\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$.

On peut développer l'intégrale en considérant la paramétrisation habituelle du cercle : $z=r^{-1}\exp(it)$ :

$\int _{C(0,1/r)}{-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)dz=\int _{0}^{2\pi }-r^{2}e^{-2it}f\left(re^{-it}\right){i \over r}e^{it}dt$

Or cette dernière expression est égale à :

$\int _{0}^{2\pi }f\left(re^{-it}\right)\cdot \left(-ire^{-it}\right)dt=\int _{C^{*}(0,r)}f(z)dz$

où l'exposant * indique que le chemin est parcouru dans le sens opposé (sens anti-trigonométrique). En insérant ce dernière résultat dans l'équation de départ, nous avons finalement :

$\mathrm {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)dz$

où l'on a utilisé la propriété des intégrales curvilignes indiquant que la valeur de l'intégrale d'une fonction holomorphe le long d'un chemin $\gamma$ est opposée à la valeur de l'intégrale sur ce même chemin parcouru dans le sens opposé $\gamma ^{*}$.

Application

Figure 1: Illustration du contour $\gamma$ en ses quatre parties (demi cercle droit, demi cercle gauche, segment inférieur et segment supérieur)

Ce théorème peut s'avérer efficace dans le calcul d'intégrales définies. Considérons par exemple de calculer par le biais des résidus l'intégrale suivante :

$I=\int _{-1}^{1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

L'intégrale est connue et le résultat est clairement $I=\pi$.

On considère une détermination holomorphe de ${\sqrt {1-z^{2}}}$ sur l'ouvert simplement connexe $U=\mathbb {C} \backslash [-1,1]$ :

${\sqrt {1-z^{2}}}={\sqrt {1-z}}{\sqrt {1+z}}={\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}$

avec $\theta _{1}\in [0,2\pi [$ et $\theta _{2}\in [-\pi ,\pi [$ (c-à-d. la détermination principale).

soit le contour $\gamma$ entourant la discontinuité et illustrée à la figure 1. Il est clair que ce contour est homotope au cercle centré à l'origine et de rayon R>1 $C(0,R)$. On a donc :

$I^{*}=\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\int _{C(0,R)}f(z)dz=-2i\pi \mathrm {Res} (f,\infty )$

Commençons par calculer le résidu à l'infini :

$\mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$

où l'on a :

${-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)={-1 \over z^{2}}\cdot {1 \over {\sqrt {1-1/z^{2}}}}={-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}$

Le résidu vaut donc :

$\mathrm {Res} (f,\infty )=\lim _{z\to 0}z\cdot {-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}=i$

Par conséquent on a :

$I^{*}=2\pi$

Il reste à passer à la limite $\epsilon \to 0$, en décomposant l'intégrale en quatre chemins illustrés à la figure ci-contre, on a :

$\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}\circ \gamma _{-}}f(z)\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{\epsilon }\circ \gamma '_{\epsilon }}f(z)\mathrm {d} z\right)$

Par estimation standard, on montre que le deuxième terme du membre de droite tend vers zéro à la limite. Par ailleurs, lorsque $\epsilon \to 0$, le long de $\gamma _{+}$, $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ tendent vers $\pi$ ; le long de $\gamma _{-}$, $\theta _{1}$ tend vers $\pi$ et $\theta _{2}$ vers $-\pi$, on a donc :

$\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{+}}{\mathrm {d} z \over {\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}}=\int _{+1}^{-1}{-\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

avec $\mathrm {e} ^{i(\pi +\pi )/2}=\mathrm {e} ^{i\pi }=-1$

$\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{-}}f(z)\mathrm {d} z=\int _{-1}^{+1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}=I$

avec $\mathrm {e} ^{i(\pi -\pi )/2}=1$ et :

On a finalement :

$I^{*}=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}}f(z)\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{-}}f(z)\mathrm {d} z\right)=2I$ et nous avons bien le résultat espéré, à savoir $I=\pi$.

Voir aussi

• Fonction multivaluée
• Lemme d'estimation
• Sphère de Riemann
• Compactifié d'Alexandroff

Références

• Murray R. SPIEGEL, Variables complexes, Schaum, (ISBN 2-7042-0020-3)