Quadrupôle

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Le quadrupôle, en électrostatique, est une distribution de charges, ayant pour particularité que les barycentres des charges respectivement positives et négatives sont confondus.

Analyse du quadrupôle[modifier | modifier le code]

Soit une distribution (\mathcal{D}) de charges q_i aux points P_i. Cette distribution (\mathcal{D}) à support compact crée à une grande distance des charges (pour r \gg a, avec a longueur caractéristique de la distribution) un potentiel V_1(r).

On définit :

  • \vec{r_i} = \vec{OP_i}
  • q = \sum_i q_i la somme des charges
  • \vec{p}(O) = \sum_i q_i \vec{r_i}, indépendant de O si q=0, nul si O est choisi barycentre des charges
  • J_O = \sum_i q_i r_i^2, le moment d'inertie par rapport à O
  • \hat{J} (\vec{X}) = \sum_i q_i \vec{r_i} \wedge ( \vec{X} \wedge \vec{r_i}), l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à O
  • \hat{Q} = 2 J_o X -3 \hat{J} X, l'opérateur linéaire quadrupolaire en O

On peut vérifier que \hat{Q} est de trace nulle : \textrm{Tr}\ \hat{Q} = 0.

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante Q_{ij} du tenseur quadrupolaire est

Q_{ij} = \int \rho\left( 3r_i r_j - \|r\|^2\delta_{ij}\right) \textrm{d}^3\vec{r}, où \delta_{ij} est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaire[modifier | modifier le code]

Théorème :

V_1(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{r} + \frac{\vec{p}\cdot\vec{u}}{r^2} + \frac{\vec{u}\cdot\left(\hat{Q} \vec{u}\right)}{2  r^3} \right) + o\left(\frac{1}{r^3}\right), avec \vec{u} = \frac{\vec{r}}{r}

En gravimétrie, ce théorème s'appelle théorème de Mac Cullagh.

Cas particulier : axe de symétrie[modifier | modifier le code]

Lorsque (\mathcal{D}) possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifie et \hat{Q} est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe (Oz), alors la matrice des moments est Q_{x,x} = Q_{y,y} = - Q_o/2 et Q_{z,z} = Q_o.

Si q n'est pas nul, on choisit O en G, et alors :

V_1(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{q}{r} + \frac{Q_o}{2 r^3} \cdot P_2(cos \theta)\right)+ o\left(\frac{1}{r^3}\right), avec P_2(x) = \frac{3x^2-1}{2} (2e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, Q_o = 2(A-C) < 0 ; l'usage est de poser J_2 = \frac{C-A}{Ma^2} = 1.08263 \times 10^{-3}.

Le potentiel terrestre est ainsi V(M) = -\frac{GM}{r} + \frac{GMa J_2 P_2(cos \theta)}{r^3}.

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en J_4 (octupolaire), J_6, etc.).

Voir aussi[modifier | modifier le code]