Problème du cercle

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Le problème du cercle de Gauss est un problème de mathématiques à l'énoncé très simple mais encore non résolu. Il consiste à considérer un cercle tracé sur un quadrillage et à demander combien de nœuds du quadrillage sont dans le cercle.

Le problème[modifier | modifier le code]

Considérons un cercle dans R2 avec le centre à l'origine et le rayon r ≥ 0. Le problème du cercle Gauss demande combien de points il y a à l'intérieur de ce cercle de la forme (m,n), où m et n sont tous deux des nombres entiers. Depuis que l'équation de ce cercle est donné en coordonnées cartésiennes par x2 + y2 = r2, la question à demander combien de paires de nombres entiers m et n il y a, de telle sorte que :

Si la réponse donnée pour une valeur de r est sous la forme de N(r), alors la liste suivante montre les premières valeurs de N(r) pour r, un nombre entier compris entre 0 et 12. Elle est suivie de la liste des valeurs  arrondies au nombre entier le plus proche :

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (séquence A000328 dans l'OEIS )
0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (séquence A075726 dans l'OEIS )

Forme exacte[modifier | modifier le code]

La valeur de N(r) peut être donnée par plusieurs séries. En ce qui concerne la somme impliquant la fonction de plancher, il peut être exprimé ainsi :

Une somme beaucoup plus simple apparaît si la somme des carrés fonction r2(n) est défini comme étant le nombre de façons à écrire le nombre n comme la somme de deux carrés. Ainsi,

Généralisation[modifier | modifier le code]

Bien que le problème initial demande le nombre de points entiers du réseau dans un cercle, il n'y a aucune raison de ne pas envisager d'autres formes, en effet le problème des diviseurs Dirichlet est le problème équivalent où le cercle est remplacé par le hyperbole rectangulaire[1]. De même, on pourrait prolonger la question de deux dimensions à des dimensions supérieures, et de demander des points entiers au sein d'une sphère ou d'un quelconque autre objet.

Le problème primitif du cercle[modifier | modifier le code]

Une autre généralisation consiste à calculer le nombre de premiers entre eux des solutions entières m,n à l'équation,

Ce problème est connu comme le problème du cercle primitif, car il implique la recherche de solutions primitives au problème du cercle initial[2]. Si le nombre de ces solutions est notée V(r), alors les valeurs de V(r) pour r sont ː

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 ... (séquence A175341 dans l'OEIS).

En liant le problème du cercle Gauss et le fait que la probabilité que deux entiers sont coprime est 6/π 2, il est relativement simple de démontrer que,

Comme le problème du cercle, la partie problématique du problème du cercle primitif réduit l'exposant dans le terme d'erreur. À l'heure actuelle l'exposant le plus connu est 221/304  + ԑ si l'on suppose l'hypothèse de Riemann[2]. Sans supposer l'hypothèse de Riemann, la plus connue est ː

pour une constante positive c[2]. En particulier, aucune hypothèse existe sur le terme d'erreur de la forme 1 -  ε pour tout ε > 0 qui est actuellement connu et ne supposant pas l'hypothèse de Riemann.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », (ISBN 9782842250355), p. 662-665.

Présentation du problème et de l'état de la recherche en 2009, avec bibliographie.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366.
  2. a, b et c J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69–81.

Articles connexes[modifier | modifier le code]