Problème de la Belle au bois dormant

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Représentation de 1899 de la Belle au bois dormant.
Représentation de 1899 de la Belle au bois dormant.

Le problème de la Belle au bois dormant est un paradoxe probabiliste et philosophique polémique énoncé en 2000. C'est-à-dire qu'il existe deux interprétations et deux résultats différents qui coexistent sans que l'on soit parvenu à réfuter l'un d'eux. Cet article expose plusieurs modélisations, plusieurs arguments et les deux solutions connues. Toutefois, puisque les arguments se contredisent, il est certain que l'un de ces arguments au moins doit être erroné.

Le problème[modifier | modifier le code]

Voici l'énoncé du problème[1] :

Le dimanche soir, alors que la Belle au bois dormant est endormie, nous lançons une pièce de monnaie équilibrée pour un tirage à pile ou face.

Si la pièce tombe sur face, nous réveillons la Belle le lendemain, lundi, et avons un entretien avec elle, avant de rendormir la Belle en lui administrant un somnifère qui lui fait complètement oublier les événements de la journée. Le mardi, la Belle reste endormie.

Si la pièce tombe sur pile, nous réveillons la Belle le lendemain, lundi, et avons un entretien avec elle, avant de rendormir la Belle avec effet amnésique. Mais, le mardi, la Belle est réveillée une seconde fois, selon les mêmes modalité que le lundi : entretien, puis endormissement avec effet amnésique.

Au cours de chaque entretien, on lui pose la question : « Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur face ? »

Que répondra la Belle ?

Précisions sur le problème[modifier | modifier le code]

La pièce utilisée est équilibrée, la probabilité d'obtenir pile est la même que celle d'obtenir face, c'est-à-dire 1/2.

La Belle est parfaitement au courant des règles et des modalités de l'expérience[1]. On suppose également que la Belle est capable de raisonnement probabiliste[2]. Autrement dit, la réponse de la Belle ne dépend que de la logique et du calcul des probabilités. Le problème revient à savoir quelle est la probabilité d'obtenir pile du point de vue de la Belle.

À chaque réveil, la Belle ignore si on est le lundi ou le mardi[1]. Autrement dit, les trois réveils sont identiques pour la Belle. Il est impossible pour elle, au moment de son réveil, de savoir si le jour est un lundi ou un mardi et si pile ou face a été obtenu[2]. Après prise du somnifère le lundi soir, la Belle est dans la même situation qu'au début de l'expérience effectuée le dimanche soir[3].

Il est important de comprendre que La Belle et l'expérimentateur n'ont pas la même vision du problème[4], ce qui conduit précisément à des raisonnements différents. Du point de vue de l'expérimentateur, la Belle se réveille une fois pour face et deux fois pour pile. On peut se poser la question de savoir si la réponse de la Belle serait la même suivant le jour de réveil. Cependant, du point de vue de la Belle, elle ne sait pas quel jour elle se réveille. Ainsi sa réponse sera-t-elle la même, quel que soit le jour du réveil. Autrement dit, la Belle donnera la même réponse à chaque entretien. Sa réponse dépendra d'un calcul de probabilité qui prend en compte les différentes possibilités de réveil.

Autres formulations du problème[modifier | modifier le code]

Certains auteurs présentent le même problème avec de légères modifications ou même des versions qui changent l'expérience. Le but est de pouvoir comparer des situations et de pouvoir mieux comprendre les hypothèses et déductions du problème.

Même expérience mais changement de présentation sur la probabilité recherchée[5].

L'expérience est la même : pile ou face le dimanche. Dans le cas de face, un seul réveil le lundi ; dans le cas de pile, un réveil le lundi puis un réveil le mardi avec amnésie entre les deux. Il y a un entretien après chaque réveil. Le but est de savoir quelle est la réponse de la Belle à l'entretien du lundi.

Dans ce cas, on ne s'intéresse qu'à la réponse de la Belle sur l'entretien du lundi. Cependant la réponse donnée par la Belle est la même à chaque entretien, on peut se restreindre à un entretien en particulier.

Même problème mais avec un gain d'argent[1].

Afin de mieux percevoir la situation, on propose de faire exactement le même protocole que le problème initial mais on demande à la Belle de trouver le côté sur lequel la pièce est tombée, c'est-à-dire répondre pile ou face, plutôt que de donner une probabilité. Pour motiver son choix, si la Belle trouve de quel côté la pièce est tombée le dimanche alors elle gagne 1000€. Si elle se trompe, elle ne gagne rien. Cette version a été proposée par un partisan de la réponse 1/3-2/3.

Une version similaire propose de faire encore la même expérience mais de ne proposer le pari pile ou face pour 1000€ que le lundi (que le résultat soit pile ou face).

Même problème mais sans mardi[6].

Afin d'éliminer une partie du problème et de le simplifier, certains auteurs s'intéressent à une autre question sur le problème de la Belle au bois dormant initial : quel serait la réponse de la Belle s'il n'y avait pas de mardi ? C'est-à-dire dans le cas où la Belle sait que la journée du réveil est le lundi. Une manière équivalente de considérer cette question est de réaliser l'expérience initiale du problème de la Belle au bois dormant et lorsque la Belle se réveille le lundi (dans le cas pile ou le cas face), on lui donne l'information du jour. Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur pile et que la pièce soit tombée sur face. Comme expliqué dans les sections suivantes, il n'y a pas consensus sur la réponse.

Problèmes généralisés sur plusieurs semaines

Toujours pour avoir une vision plus globale du problème, le problème de la Belle au bois dormant a été généralisé sur plusieurs semaines. Une manière est de répéter l'expérience sur plusieurs semaines de manière indépendante et de s’intéresser aux résultats fréquentistes des réveils dans le cas pile et des réveils dans le cas face. C'est-à-dire de compter la proportion de réveils dans un cas et dans l'autre pour estimer la probabilité[1]. Encore une fois, des arguments amènent à 1/2-1/2, d'autres à 1/3-2/3.

Une autre manière est de considérer le problème sur plusieurs semaines mais avec un effet d'amnésie sur l'ensemble des semaines. Ce qui fait que la Belle ne sait pas quel est le jour du réveil ni la semaine du réveil. Là encore, le résultat ne fait pas l'unanimité[6].

Analogie avec un problème d'urne[4],[5]

Il est courant en probabilité de représenter des situations plus compliquées par une modélisation plus abordable. Ici, certains auteurs proposent de faire une analogie avec un tirage de boules dans des urnes. On dispose d'une urne qui contient une boule verte représentant le réveil du lundi pour face, ainsi qu'une autre boule verte pour le réveil du lundi pour pile et une boule rouge pour le réveil du mardi. L'urne contient alors trois boules. La Belle pioche dans l'urne pour représenter quel est son réveil. Cependant elle doit se réveiller deux fois pour pile donc l'expérience revient à piocher les boules de l'urne jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus[4].

Historique[modifier | modifier le code]

L'origine de ce problème est incertaine[6]. Il est apparu dans la revue Games and Economic Behavior (jeux et comportements économiques) en 1997 par les auteurs Michele Piccione et Ariel Rubinstein[7] qui proposent deux raisonnements, mais ne précisent pas lequel est correct[3].

La formulation actuelle du problème a été donnée par Elga en 2000[8] en prenant le lecteur à la place de la Belle au bois dormant. Le nom, The Sleeping Beauty Problem, traduit par Belle au bois dormant, a été donné par Robert Stalnaker[6],[3].

Depuis de nombreux auteurs philosophes et probabilistes se sont penchés sur le problème avec des arguments et des conclusions différentes. Donnons ici une liste sélectionnée : Lewis (2001), Vaidman and Saunders (2001), Arntzenus (2002), Dorr (2002), Monton (2002), Hitchcock (2004), Weintraub (2004), Meacham (2005), White (2006), Horgan (2004 et 2007), Groisman (2008), Karlander et Spectre (2010), et Hawley (2013). Notons que Groisman annonce que les deux positions sont acceptables suivant le point de vue[8]. De manière plus générale, certains auteurs, par exemple Delabre (2015)[6], considèrent que le problème n'est pas suffisamment bien posé pour avoir une unique solution.

Ce problème ne fait toujours pas consensus.

Les différentes réponses philosophiques[modifier | modifier le code]

Les différentes réponses mathématiques[modifier | modifier le code]

Deux résultats au problème proposés par la communauté scientifique se contredisent. Pour un problème bien posé, il n'y a bien sûr qu'une réponse valide[6]. Ainsi certains chercheurs considèrent que le problème ainsi posé est insoluble ou autrement dit que les raisonnements proposés sont faux, car le problème contient une contradiction ou une ambiguïté non prise en compte[6]. En effet les 2 réponses semblent justes mais ne répondent pas à la même question. Ceux qui sont pro 1/2-1/2 répondent plutôt à la question : quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur face ? (qui est égale à la probabilité que la pièce soit tombée sur pile, car il y a le même nombre de possibilités, qui est unique, dans chaque événement). Cependant, ceux qui sont pro 1/3-2/3 répondent plutôt à la question suivante : quelle est la probabilité que la Belle se réveille du fait que la pièce soit tombée sur face ? Qu'on pourrait aussi tourner de la manière suivante : quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur face sachant que la Belle est réveillée ? Ce qui n'est pas du tout pareil car cette fois-ci 3 possibilités existent pour les 2 événements (la Belle est réveillée par face le lundi ou par pile le lundi ou le mardi). Ainsi on voit bien qu'il y a 2 chances sur 3 pour que la Belle soit réveillée par pile et 1 sur 3 par face. Il suffit donc de savoir à quelle question on a affaire pour pouvoir y répondre correctement.

Présentons toutefois ici des raisonnements intuitifs ainsi que des raisonnements plus rigoureux pour chaque résultat.

Raisonnements intuitifs[modifier | modifier le code]

Pro 1/3-2/3[modifier | modifier le code]

Un résultat annonce que lorsque la Belle se réveille, elle estime à 1/3 la probabilité que face soit apparu et 2/3 que pile ait été obtenu. Les partisans de ce résultat sont appelés les tiéristes (thirders en anglais)[6].

Voici une première explication intuitive de ce résultat. La Belle se réveille dans trois situations : le lundi avec face, le lundi avec pile et le mardi avec pile. Les situations lundi-face et lundi-pile ont même probabilité car la pièce est équilibrée. De plus les situations lundi-pile et mardi-pile ont également même probabilité dû au protocole de l'expérience. Ainsi les trois possibilités ont même probabilité[9] et donc il y a une situation sur trois pour face et deux situations sur trois pour pile. On trouve ainsi les probabilités 1/3 et 2/3.

Autrement dit, la Belle se réveille deux fois plus souvent lors d'un résultat pile que lors d'un résultat face. Cette remarque s'appelle l'effet de loupe[1]. Pour mieux comprendre ce phénomène, donnons une analogie avec l'effet inverse : l'effet de filtre. Si on sait que, dans un lac, il y a 50% de petits poissons et 50% de grands poissons, un pêcheur aura dans son filet cette même proportion de petits et grands poissons. Si le pêcheur utilise un filet à grosses mailles qui laissent passer la moitié des petits poissons, il aura alors dans son filet 2/3 de gros poissons et 1/3 de petits poissons. Cette nouvelle proportion fausse la vision réelle du lac. De la même manière la vision de l'expérimentateur est modifiée par rapport à celle de la Belle.

Pro 1/2-1/2[modifier | modifier le code]

Un autre résultat annonce que lorsque la Belle se réveille, elle estime à 1/2 la probabilité que face soit apparu et 1/2 que pile ait été obtenu. Les partisans de ce résultat sont appelés les demistes (halfers en anglais)[6].

Voici une première explication intuitive de ce résultat. La Belle s'endort le dimanche soir en sachant qu'il y a la même probabilité 1/2 pour pile et face. Elle sait également qu'elle va être réveillée pendant l'expérience. Lorsqu'elle se réveille, elle n'a pas d'information supplémentaire puisqu'elle ne sait pas quel jour il est. Autrement dit elle ne gagne aucune information qui changerait la probabilité de 1/2 pour pile et 1/2 pour face[6].

Arguments probabilistes[modifier | modifier le code]

Les modélisations[modifier | modifier le code]

Afin d'effectuer des calculs de probabilités sur ce problème, il est nécessaire de définir un espace de probabilité avec différents états possibles pour la Belle. Ces modélisations ne donnent pas directement des résultats sur les probabilités recherchées. C'est en supposant quelques données que l'on peut conclure sur un résultat ou un autre.

Modélisation à trois états.

Puisque la Belle se réveille dans trois situations, il est possible de considérer trois états[6] :

 : "la pièce est tombée sur face et aujourd'hui est lundi".
 : "la pièce est tombée sur pile et aujourd'hui est lundi".
 : "la pièce est tombée sur pile et aujourd'hui est mardi".

À noter que ces trois états sont disjoints : il n'est pas possible d'être dans deux états en même temps. La proposition concerne le problème centré dans le monde-face (heads en anglais) alors que et concernent le monde-pile (tails en anglais). On peut également noter ces trois états par Face-Lundi, Pile-Lundi, Pile-Mardi[4]. Ainsi on peut noter les ensembles suivants :

 : "aujourd'hui est lundi".
 : "la pièce est tombée sur pile".

Lorsque la Belle se réveille, les trois états sont possibles, cependant les probabilités de chacun nécessitent un calcul précis et les avis divergent à ce sujet.

Modélisation à quatre états.

Dans un souci de symétrie entre les deux mondes : pile et face, il est également possible de considérer quatre états plutôt que trois[4] :

 : "la pièce est tombée sur face et aujourd'hui est lundi" (Face-Lundi)
 : "la pièce est tombée sur face et aujourd'hui est mardi" (Face-Mardi)
 : "la pièce est tombée sur pile et aujourd'hui est lundi" (Pile-Lundi)
 : "la pièce est tombée sur pile et aujourd'hui est mardi" (Pile-Mardi)

Dans cette modélisation, on considère que l'état Face-Mardi existe mais que la Belle n'est pas réveillée. Comme dit précédemment, les probabilités de chacun de ces événements ne sont pas clairement données par le problème. C'est en supposant la valeur de quelques probabilités que l'on peut obtenir un résultat ou un autre.

Pro 1/3-2/3[modifier | modifier le code]

Comme expliqué précédemment, les probabilités restent à déterminer. Il existe plusieurs approches.

Première approche

Cette approche tiériste se place dans la modélisation à trois état et suppose que les trois états Face-Lundi, Pile-Lundi et Pile-Mardi sont équiprobables. C'est-à-dire que les trois états ont la même probabilité d'être vrais lors du réveil de la Belle[4]. Autrement dit

.

Avec cette supposition, la probabilité que la pièce soit tombée sur pile est la somme des probabilités d'apparition des deux états Pile-Lundi et Pile-Mardi, ainsi on trouve une probabilité pour pile de 2/3 et par conséquence une probabilité pour face de 1/3. En terme mathématiques, ceci s'écrit : .

Deuxième approche

Cette seconde approche tiériste se place également dans une modélisation à trois états et suppose que si la Belle sait qu'elle est réveillée le lundi, alors la probabilité que la pièce soit tombée sur face est 1/2[6],[2]. De plus les partisans de ce point de vue supposent que les deux états Pile-Lundi et Face-Lundi ont même probabilité. C'est-à-dire, en termes mathématiques,

et .

Grâce à ces deux suppositions, on peut montrer que les deux états Pile-Lundi et Face-Lundi ont même probabilité. On retrouve alors le premier point de vue, c'est-à-dire que les trois états possibles ont même probabilité. Les formules du calcul des probabilités s'écrivent ainsi donc . Or , on retrouve alors . Comme lors de la première approche, le résultat 1/3-2/3 apparaît[6].

Troisième approche

Cette troisième approche se situe dans le cas d'une modélisation à quatre états : Pile-Lundi, Pile-Mardi, Face-Lundi et Face-Mardi. La pièce lancée le dimanche est équilibrée, de plus cette approche suppose que les réveils du lundi et du mardi sont aussi fréquents les uns que les autres, les quatre probabilités correspondantes sont alors égales, soit 1/4 pour chacune[4]. En termes mathématiques, on suppose :

.

Avec cette situation, la Belle est réveillée dans trois états sur les quatre. Puisque les états sont équiprobables, la probabilité d'être réveillé est de 3/4. Dans cette situation, la probabilité d'être réveillé si la Belle sait que la pièce est tombée sur face est 1/2 et dans le cas où la pièce est tombée sur pile, la probabilité est 1. Grâce à ces probabilités, on obtient une probabilité de 1/3 que la pièce soit tombée sur face sachant que la Belle a été réveillée ; et une probabilité de 2/3 que la pièce soit tombée sur pile si la Belle a été réveillée. En termes mathématiques, cela s'écrit comme suit[4].

, et .

permet d'obtenir

et .
Quatrième approche

Cette autre raisonnement propose une approche fréquentiste du problème[1],[6]. C'est-à-dire de répéter un grand nombre de fois l'expérience et de compter les différents résultats. L'idée est de recommencer de manière indépendante la même expérience de la Belle au bois dormant (pile ou face, un réveil dans le cas face, deux réveils dans le cas pile et entretien à chaque fois) sur disons cent semaines. Puisque pile sera apparu sur à peu près la moitié des semaines, ce qui correspond à une cinquantaine de semaines, la Belle aura alors a peu près cent réveils. Dans le cas de face, la Belle se réveillera une fois pour chacune des cinquante autres semaines. Au total, il y aurait cent-cinquante réveils dont cent pour pile et cinquante pour face. on trouve alors une proportion de 1/3-2/3.

Une manière de modéliser mathématiquement cet argument, est de considérer une chaîne de Markov. C'est-à-dire, on se place dans la modélisation à trois états et on donne les probabilités de passer d'un état à un autre[9].

  • Le passage de l'état Pile-Lundi à l'état Pile-Mardi est obligatoire, la probabilité est 1.
  • Après l'état Pile-Mardi, l'expérience est finie. Ainsi on passe à l'expérience de la semaine d'après avec un nouveau lancer de pile ou face.
  • Le passage de l'état Pile-Mardi à Pile-Lundi arrive lors d'un résultat pile, donc probabilité 1/2.
  • Le passage de l'état Pile-Mardi à Face-Lundi arrive lors d'un résultat face, donc probabilité 1/2.
  • Après l'état Face-Lundi, l'expérience est finie. De même que précédemment, on passe à la semaine d'après et :
  • Le passage de l'état Face-Lundi à Pile-Lundi arrive lors d'un résultat pile, donc probabilité 1/2.
  • Le passage de l'état Face-Lundi à Face-Lundi arrive lors d'un résultat face, donc probabilité 1/2.

La matrice de transition rassemble ces différentes probabilités et caractérise la chaîne de Markov : . Cette matrice admet un vecteur stable qui vérifie l'équation . ce vecteur est donné par[9] . Il représente les probabilités d'être dans chacun des trois états au bout d'un grand nombre de semaines. On retrouve donc l'équiprobabilité des trois états ce qui amène à la conclusion 1/3-2/3.

Pro 1/2-1/2[modifier | modifier le code]

Comme expliqué précédemment, les probabilités des trois états, conditionnellement au fait de savoir ou non le jour du réveil, ne sont pas données dans le problème.

Première approche

Une première approche demiste considère que la Belle n'a pas plus d'informations le jour de son réveil qu'au début de l'expérience. Ainsi l'estimation de la probabilité que la pièce soit tombée sur pile n'est pas modifiée par rapport au début de l'expérience, c'est-à-dire 1/2. Et ainsi la probabilité pour face est également de 1/2. Ainsi ce point de vue ne suppose aucune valeur de probabilité[2].

Une conséquence du résultat 1/2-1/2 permet d'obtenir les valeurs de certaines probabilités[2]. On peut montrer que la probabilité de l'état Lundi-Face est 1/2, de même la probabilité d'être dans un des deux états Lundi-Pile ou Mardi-Pile est 1/2. Si la Belle sait qu'elle s'est réveillée le lundi, alors elle peut obtenir que la probabilité que la pièce soit tombée sur face est alors 2/3, et sur pile est alors 1/3. Ces probabilités s'écrivent mathématiquement ainsi :

.
.
.

De plus, si on suppose (comme pour le point de vue tiériste) que les états Lundi-Pile et Mardi-Pile ont même probabilité alors on obtient que cette probabilité est 1/4. Autrement dit[2]

.
Deuxième approche

Donnons ici une approche fréquentiste de l'expérience qu'il faut comparer à l'argument fréquentiste pour 1/3-2/3. Recommençons un grand nombre de fois l'expérience sur plusieurs semaines et comptons les situations. Dans le monde-face, il n'y a qu'un réveil alors que dans le monde-pile, il y a une série de deux réveils. Ainsi le résultat de la pièce donne soit un réveil, soit une série de deux réveils[6]. Lorsque la Belle se réveille, elle ne sait pas dans quel monde elle se trouve (pile ou face), ainsi elle ne sait pas si elle est dans le réveil seul ou dans la série de deux réveil mais elle sait qu'il n'y a que deux situations. Ainsi il ne faut pas compter de manière équitable (comme dans l'argument 1/3-2/3) les trois réveils mais les deux situations. On obtient alors 1/2-1/2.

Explication par l’effet de loupe[modifier | modifier le code]

Une explication « intuitive » du résultat « 2/3-1/3 » serait « il y a deux fois plus d’entretiens quand la pièce est tombée sur pile donc quand il y a un entretien, il y a deux fois plus de chances pour que la pièce soit tombée sur pile ». C’est précisément ce qu’on appelle effet de loupe en probabilité[1].

Un cas d’effet de loupe[1] plus facile à saisir est celui du pêcheur : sachant que la moitié des poissons du lac font moins de cinq centimètres, son filet va capturer pour moitié des poissons de moins de cinq centimètres. Supposons maintenant que les mailles de son filet sont trop larges et qu’elles laissent passer la moitié des poissons de moins de 5 centimètres, cette moitié s’échappera du filet contre aucune fuite concernant les gros. En prenant un poisson au hasard dans le filet, on a donc 2 chances sur 3 que ce soit un gros puisqu'il y a 2/3 de gros parmi les poissons remontés.

Le cas du pêcheur est beaucoup plus simple mais il n’est pas admis par tous que la situation de la Belle au bois dormant soit analogue.

En fait il n'y a aucun paradoxe, il faut simplement distinguer le phénomène aléatoire (lancer de pièce : probabilité 1/2 pour pile ou face) de son observation : probabilité pour la princesse d'observer pile (deux fois plus d'entretiens que si c'est face donc probabilité 2/3).

On peut imaginer un jeu qui reproduise ce phénomène. Vous construisez une caisse fermée avec deux compartiments notés A et B, dans un de ces compartiments vous enfermez une boule. Vous mettez deux caméras dans le compartiment où se trouve la boule et une dans le compartiment vide. Ces caméras sont numérotées aléatoirement de 1 à 3 et reliées à un écran. Vous demandez à un joueur de choisir un numéro de caméra et d'appuyer sur le bouton portant ce numéro, cela donnera l'image captée par la caméra sur l'écran. Il a 2 chances sur trois de voir la boule et pourtant si vous lui demandez de choisir un compartiment de la caisse A ou B il n'a qu'une chance sur deux de trouver la boule.

Passage au cas limite[modifier | modifier le code]

Il est raisonnable que chaque côté d'une pièce de monnaie puisse se voir attribuer une probabilité autre que 1/2. Passons à un cas plus extrême : on lance la pièce le dimanche, et si elle tombe sur face, on poignarde Aurore dans son sommeil. Si elle tombe sur pile, on la réveille le lundi matin. Aurore connaissant les règles, on lui demande quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur face. Elle répondra zéro, puisqu'elle se sait vivante. On est bien passé d'une probabilité 1/2 à une autre (soit 1 si Aurore a de la chance, 0 dans le cas contraire).

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d, e, f, g, h et i Jean-Paul Delahaye, « La Belle au bois dormant, la fin du monde et les extraterrestres », Pour la science, no 309,‎ , p. 98-103 (lire en ligne).
  2. a, b, c, d, e et f (en) David Lewis, « Sleeping Beauty: reply to Elga », Analysis, vol. 61, no 3,‎ , p. 171-176 (lire en ligne).
  3. a, b et c (en) Adam Elga, « Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem », Analysis, vol. 60, no 2,‎ (lire en ligne).
  4. a, b, c, d, e, f, g et h Philippe Gay, « La Belle au bois dormant et les Pommes », sur Images des mathématiques,‎ .
  5. a et b (en) Paul Franceschi, « A Two-Sided Ontological Solution to the Sleeping Beauty Problem », PhilSci archive,‎ (lire en ligne).
  6. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n et o Laurent Delabre, « La Belle au bois dormant : débat autour d’un paradoxe », Implications philosophiques,‎ (lire en ligne).
  7. (en) Michele Piccione et Ariel Rubinstein, « On the Interpretation of Decision Problems with Imperfect Recall », Games and Economic Behavior, no 20,‎ , p. 3-24 (lire en ligne).
  8. a et b (en) Ioannis Mariolis, « Revealing the Beauty behind the Sleeping Beauty Problem », prépublication,‎ (lire en ligne).
  9. a, b et c Philippe Gay, « Markov et la Belle au bois dormant », sur Images des mathématiques,‎ .

Bibliographie[modifier | modifier le code]