Potentiel de Pöschl-Teller

En physique mathématique, un potentiel de Pöschl-Teller, nommé d'après les physiciens Herta Pöschl (crédité comme G. Pöschl) et Edward Teller, est une classe spéciale de potentiels pour lesquels l'équation de Schrödinger à une dimension peut être résolue en termes de fonctions spéciales.

Bien que Pöschl et Teller introduisirent, dans leur article de 1933, le potentiel sous sa forme générale

${\displaystyle V(x)={\frac {\nu (\nu -1)}{2\,\sinh ^{2}(x)}}-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,,$

pour $\lambda ,\nu >1$, de nos jours la dénomination « potentiel de Pöschl–Teller » fait plutôt référence au cas symétrique $\nu =1$ pour $\lambda >0$ :

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,.$

Solutions

Les solutions indépendantes du temps de l'équation (unidimensionnelle) de Schrödinger avec ce potentiel,

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}\,,$

peuvent alors être déterminées grâce à la substitution $u=\mathrm {tanh} (x)$ qui conduit à l'équation générale de Legendre

$\left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0$

dont les solutions sont les fonctions associées de Legendre ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(u)}$ et ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(u)}$ de degré $\lambda \in \mathbb {C}$ et d'ordre $\mu \in \mathbb {C}$ lorsque ${\displaystyle E={-\mu ^{2}/2}}$.

Potentiel de Pöschl–Teller symétrique pour $\lambda =6$ (courbe noir) et ses six valeurs propres (lignes rouges) ${\displaystyle E={-\mu ^{2}/2}}\,,\ \mu =1,2,3,4,5,6$.

Cependant, seules les fonctions ${\displaystyle P_{\lambda }^{-\mu }\circ \tanh }$ pour $(\lambda ,\mu )$ tels que $(\lambda \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\pm (\lambda +1-j))$ ou $(0<\lambda \not \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\lambda +1-j)$, où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$, sont dans $L^{2}(\mathbb {R} )$ et donc des fonctions propres de l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique. De plus, dans le cas $\lambda \in \mathbb {N}$, la fonction ${\displaystyle P_{\lambda }^{\lambda +1-j}\circ \tanh }$ ne diffère de ${\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }$ que par une constante multiplicative, il s'agit donc d'une seule et même fonction propre.

Par conséquent, l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique n'admet des valeurs propres que pour $\lambda >0$ et ${\displaystyle \mu =\lambda +1-j}$, où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$, et ces $\lceil \lambda \rceil$ valeurs propres sont alors $E_{j}={-(\lambda +1-j)^{2}/2}$, avec les fonctions propres associées ${\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }$.

En outre, les données de diffusion à faible énergie peuvent être explicitement calculées.

Dans le cas particulier où $\lambda$ est un entier naturel non nul^{[à vérifier]}, le potentiel est sans réflexion et de tels potentiels peuvent également être solutions N-solitons de l'équation de Korteweg–de Vries.

Potentiel de Rosen-Morse

Un potentiel lié, le potentiel de Rosen-Morse, possède un terme supplémentaire :

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}-g\tanh(x)}\,.$

Voir aussi

Articles connexes

• Potentiel de Morse