Polynôme d'Abel

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En mathématiques, les polynômes d'Abel forment une suite de polynômes dont le $n$ -ième est de la forme

A_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}.~

Cette suite de polynômes est de type binomial.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Fonction génératrice

La fonction génératrice des polynômes d'Abel est :

\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {A_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\exp \left({\frac {t}{a}}W(at)\right)

où $W$ désigne la fonction W de Lambert.

Identité binomiale

Les polynômes d'Abel vérifient l'identité suivante :

A_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{k}(x)A_{n-k}(y)

Applications[modifier | modifier le code]

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Les polynômes d'Abel sont fondamentaux dans le calcul ombral, dans la mesure où on peut montrer que tous les polynômes de type binomial peuvent être exprimés à partir des polynômes d'Abel^[1].

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Abel polynomials » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Gian-Carlo Rota, Jianhong Shen et Brian D. Taylor, « All polynomials of binomial type are represented by Abel polynomials », Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4^e série, vol. 25, n^os 3-4,‎ 1997, p. 731-738 (lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Abel Polynomial », sur MathWorld

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail des mathématiques

[1] (en) Gian-Carlo Rota, Jianhong Shen et Brian D. Taylor, « All polynomials of binomial type are represented by Abel polynomials », Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 4^e série, vol. 25, n^os 3-4,‎ 1997, p. 731-738 (lire en ligne)

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