Plus longue sous-chaîne commune

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Ne doit pas être confondu avec plus longue sous-séquence commune.

En informatique, le problème de la plus longue sous-chaîne commune consiste à déterminer la (ou les) plus longue chaîne de caractères qui est sous-chaîne de deux chaînes de caractères. Ce problème se généralise à la recherche de la plus longue sous-chaîne commune à plus de deux chaînes de caractères.

Exemple[modifier | modifier le code]

La plus longue sous-chaîne commune à « ABABC », « BABCA » et « ABCBA » est la chaîne « ABC » de longueur 3. Les autres sous-chaînes communes telles que « AB », « BC » et « BA » sont plus courtes.

  ABABC
    |||
   BABCA
    |||
    ABCBA

Formalisation du problème[modifier | modifier le code]

Étant donné deux chaînes, de longueur et de longueur , trouver la plus longue chaîne étant en même temps sous-chaîne de et . Par définition la longueur de la plus longue sous-chaîne est comprise entre (vocabulaires disjoint) et ().

Algorithmes[modifier | modifier le code]

Il est possible de déterminer la longueur et la position de départ de la plus longue sous-chaîne de et en à l'aide d'un arbre des suffixes généralisé (en). L'algorithme naïf faisant appel à la programmation dynamique est beaucoup plus coûteux en temps : .

Arbre des suffixes[modifier | modifier le code]

Arbre des suffixes généralisé construit à partir des chaînes « ABAB », « BABA » et « ABBA », numérotées respectivement 0, 1 et 2.

La plus longue chaîne commune à un ensemble de chaînes peut être déterminée en construisant l'arbre des suffixes généralisé puis en trouvant le nœud le plus profond ayant des feuilles pointant vers toutes les chaînes. Dans l'exemple ci-contre, le nœud auquel on arrive par « AB » a quatre feuilles dans son sous-arbre ; la feuille de gauche dit qu'une occurrence de la sous-chaîne « AB » commence en position 2 dans la chaîne 0 (« ABAB »), de même, la feuille de droite indique une occurrence débutant en position 0 dans la chaîne 2 (« ABBA ») ; des deux feuilles centrales, celle de gauche indique qu'une occurrence de la sous-chaîne « ABA » commence en position 1 dans la chaîne 1 (« BABA »).

La construction de l'arbre des suffixes a une complexité en temps de , où est la somme des longueur des chaînes représentées.

La recherche peut se faire en temps similaire grâce à des algorithmes de plus petit ancêtre commun[1].

Programmation dynamique[modifier | modifier le code]

Dans un premier temps, on cherche le plus long suffixe commun pour chaque paire de préfixes des deux chaînes et . Le plus long suffixe commun du préfixe de longueur de et du préfixe de longueur de est

Pour les chaînes « ABAB » et « BABA », on obtient:

A B A B
0 0 0 0 0
B 0 0 1 0 1
A 0 1 0 2 0
B 0 0 2 0 3
A 0 1 0 3 0

Le plus de ces suffixes communs à tous les préfixes est la plus longue sous-chaîne commune. Dans la table, elles sont indiquées en rouge, et dans l'exemple, les deux sous-chaînes communes de longueur maximale sont « ABA » et « BAB ».

La méthode peut être étendue à plus de deux chaînes en ajoutant des dimensions à la table.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dan Gusfield, Algorithms on Strings, Trees and Sequences: Computer Science and Computational Biology, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-58519-8)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Source de la traduction[modifier | modifier le code]

Voir également[modifier | modifier le code]