Mot (mathématiques)

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En mathématiques ou en informatique théorique, un mot est une suite finie d'éléments pris dans un ensemble . L'ensemble est appelé l'alphabet, ses éléments sont des lettres. On dit que est un mot sur .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un « mot binaire ». C'est un mot sur un alphabet à deux symboles, notés généralement et . Par exemple, le développement binaire d'un entier naturel, ou son écriture binaire, est la suite des chiffres de sa représentation en base . Ainsi, l'écriture binaire de « dix-neuf » est .
  • Une « séquence d'acide désoxyribonucléique » (ADN). C'est un mot généralement formé de quatre lettres correspondant aux quatre nucléotides formant l'enchaînement de l'ADN : A pour adénine, G pour guanine, T pour thymine, C pour cytosine. Lorsqu'à une position donnée, il y a incertitude sur le nucléotide, un N est utilisé au lieu de A, G, T ou C.
  • Une « protéine » est une macromolécule composée d’une chaîne d'acides aminés. Il y a 20 acides aminés. C'est donc un mot sur un alphabet à 20 lettres.
  • La transmission des textes est facilitée par l'emploi d'un alphabet appelé unicode. C'est une norme qui vise à donner à tout caractère de n’importe quel système d’écriture un nom et un identifiant numérique.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Un mot est écrit plus simplement :

La longueur d'un mot est le nombre de positions des lettres qui le composent : le mot ci-dessus est de longueur . Par exemple, le mot sur l'alphabet est de longueur 7. Un mot peut être vide. C'est le mot de longueur 0. Il est noté généralement ε.

La concaténation de deux mots et est le mot obtenu en mettant bout à bout et . Par exemple, la concaténation de et donne . La concaténation est une opération associative, mais non commutative. Son élément neutre est le mot vide.

L'ensemble des mots sur un alphabet , muni de la concaténation, forme donc un monoïde. En tant que structure algébrique, c'est un monoïde libre au sens de l'algèbre universelle. Cela signifie que tout mot est produit de concaténation des lettres qui le composent.

L'ensemble des mots sur un alphabet est traditionnellement noté .

Terminologie supplémentaire[modifier | modifier le code]

  • Les préfixes d'un mot sont les mots ε et , pour .
    Les 5 préfixes du mot sont: ε, , , et lui-même. Si on exclut le mot vide, on parle de préfixe non vide, si on exclut le mot lui-même, on parle de préfixe propre. De manière équivalente, un mot est un préfixe d'un mot s'il existe un mot tel que .
  • Les suffixes d'un mot sont les mots ε et , pour .
    Les 5 suffixes du mot sont: les mots , , , et ε. De manière équivalente, un mot est un suffixe d'un mot s'il existe un mot tel que .
  • Les facteurs d'un mot sont les mots , pour .
    Les facteurs du mot sont les mots ε, , , , , , , , et . De manière équivalente, un mot est un facteur d'un mot s'il existe des mots tel que .
  • Un mot est un sous-mot d'un mot s'il existe une factorisation en mots telle que .
    Ainsi, s'obtient à partir de en effaçant des lettres dans . Par exemple, est sous-mot de [1].
  • L'image miroir ou le retourné d'un mot est le mot .
    Par exemple, l'image miroir du mot est le mot .
  • Un palindrome est un mot qui est égal à son image miroir.
    Par exemple, le mot est un palindrome.
  • Un mot est puissance entière d'un mot s'il existe un entier positif tel que ( répété fois).
  • Un mot est primitif s'il n'est pas puissance entière d'un autre mot.
    Par exemple, le mot n'est pas primitif, parce qu'il est le carré du mot .
Article détaillé : mot primitif.
  • Deux mots et sont conjugués s'il existe des mots et tels que et .
    Par exemple, les mots et sont conjugués. La conjugaison est une relation d'équivalence.
  • Un classe de conjugaison ou mot circulaire ou collier est l'ensemble des conjugués d'un mot.
    Un mot circulaire de représentant est parfois noté . Par exemple, la classe de conjugaison de est composée des cinq mots .
  • Une période d'un mot , où sont des lettres, est un entier avec tel que pour .
    Par exemple, le mot a les périodes 5, 7 et 8.
  • Un mot périodique est un mot dont la longueur est au moins deux fois sa période minimale. Un carré, c'est-à-dire un mot de la forme est périodique. Le mot est périodique alors que le mot ne l'est pas.
  • Un bord d'un mot est un mot qui est à la fois un préfixe propre et un suffixe propre de .
    Par exemple, les bords du mot sont le mot vide, et . Si est un bord d'un mot , alors est une période de . Un mot sans bord est un mot dont le seul bord est le mot vide. C'est un mot dont la seule période est sa longueur.
  • Le produit de mélange ш de deux mots et est l'ensemble des mots , où les et les sont des mots, tels que et .
    Par exemple, ш [2],[3].
  • L'ordre lexicographique sur les mots se définit à partir d'un ordre total sur l'alphabet. C'est l'ordre alphabétique, formellement donné par si et seulement si est préfixe de ou si , et pour des mots et des lettres et avec . Par exemple, pour l'alphabet formé de et avec , on a .
Article détaillé : ordre lexicographique.

Lemme de Levi[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Lemme de Levi.

Lemme de Levi[4] — Soient , , , des mots. Si , alors il existe un mot tel que , ou , .

Une autre façon d'exprimer ce résultat est de dire que si et sont tous les deux des préfixes d'un mot, alors est préfixe de ou est préfixe de .

Un résultat fondamental[modifier | modifier le code]

Le résultat suivant caractérise les mots qui commutent.

Théorème —  Soient et deux mots non vides. Les conditions suivantes sont équivalentes:

  • ,
  • il existe deux entiers tels que ,
  • il existe un mot et deux entiers tels que et .

Parmi les conséquences, il y a :

  • Tout mot est puissance d'un mot primitif unique.
  • Les conjugués d'un mot primitif sont eux-mêmes primitifs.
  • La classe de conjugaison d'un mot primitif de longueur a éléments.

Le théorème admet une version plus forte:

Si et sont deux mots non vides, et s'il existe une relation quelconque, non triviale, entre et , c'est-à-dire s'il existe une relation

sont soit ou et

, alors .

On peut exprimer ces résultats en terme d'équation entre mots : le premier dit que l'équation

n'a que des solutions cycliques, c'est-à-dire dont tous les mots sont des puissances d'un même mot ; le deuxième dit que toute équation en deux variables sans constante n'a que des solutions cycliques.

Une autre propriété concerne la conjugaison.

Théorème — Soient des mots non vides. Alors

si et seulement s'il existe un mot non vide , un mot et un entier tels que

, et .

Ce résultat est parfois attribué à Lyndon et Schützenberger[5]. On peut voir cet énoncé comme la description des solutions de l'équation en trois variables

.

Morphisme[modifier | modifier le code]

Une application

est un morphisme ou un homomorphisme si elle vérifie

pour tous les mots . Tout morphisme est déterminé par sa donnée sur les lettres de l'alphabet . En effet, pour un mot , on a

.

De plus, l'image du mot vide est le mot vide :

parce que est le seul mot égal à son carré, et

.

Exemples[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite de Prouhet-Thue-Morse.

Le morphisme de Thue-Morse permet de définir la suite de Prouhet-Thue-Morse. C'est le morphisme sur défini par

En itérant, on obtient

Article détaillé : mot de Fibonacci.

Le morphisme de Fibonacci permet de définir le mot de Fibonacci. C'est le morphisme , avec , défini par

En itérant, on obtient

Morphismes particuliers[modifier | modifier le code]

  • Un automorphisme est une bijection si et seulement l'image d'une lettre est une lettre.
  • Un morphisme est non effaçant si l'image d'une lettre n'est jamais le mot vide. Il est équivalent de dire que l'image d'un mot est toujours au moins aussi longue que le mot de départ : . On dit aussi morphisme non décroissant, ou croissant au sens large. On dit aussi que c'est un morphisme de demi-groupes puisque sa restriction au demi-groupe est à valeurs dans .
  • Un morphisme est alphabétique si l'image d'une lettre est une lettre ou le mot vide. Il est équivalent de dire que l'image d'un mot est toujours moins longue que le mot de départ.
  • Un morphisme est littéral ou lettre à lettre ou préserve la longueur si l'image d'une lettre est une lettre. Il est équivalent de dire que l'image d'un mot est toujours moins longue que le mot de départ.
  • Un morphisme est uniforme si les images des lettres ont toutes la même longueur. Si la longueur commune est , ont dit aussi que le morphisme est -uniforme. Le morphisme de Thue-Morse est 2-uniforme; le morphisme de Fibonacci est non effaçant, et n'est pas uniforme. Un morphisme littéral est 1-uniforme.
  • Un morphisme est symétrique[6] s'il existe une permutation circulaire de l'alphabet qui commute avec , c'est-à-dire telle que pour toute lettre . Ici est étendu en un automorphisme de . Cette formule implique que est uniforme. Le morphisme de Thue-Morse est symétrique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Dans la littérature en langue anglaise, on dit subword pour facteur et scattered subword pour sous-mot.
  2. Le symbole « ш » est la lettre sha de l'alphabet cyrillique, On utilise aussi le caractère unicode U+29E2 (SHUFFLE PRODUCT)). Dans une formule mathématique, on peut aussi utiliser \text{ш}.
  3. Pour bien comprendre cet exemple, écrivons en majuscules les lettres du deuxième mot. Avec cette convention, on a
    ш
    et quand on revient aux minuscules, il ne reste plus que les deux mots indiqués.
  4. Cet énoncé est en fait la partie facile. Il y a une réciproque: si un monoïde vérifie la conclusion du lemme, et si de plus il existe un morphisme de dans le monoïde additif des entiers naturels tel que , alors M est libre (voir Lothaire (1983), Problème 1.1.1).
  5. Par exemple dans le manuel de Shallit 2009, 2.3 The theorems of Lyndon–Schützenberger.
  6. Cette terminologie est employée par (en) Anna E. Frid, « Arithmetical complexity of the symmetric D0L words », Theoretical Computer Science, vol. 306,‎ , p. 535-542.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]