Paradoxe de Borel

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Le paradoxe de Borel (parfois appelé le paradoxe de Borel-Kolmogorov) est un paradoxe de la théorie des probabilités en rapport avec les probabilités conditionnelles et les densités de probabilité.

Supposons que nous ayons deux variables aléatoires, X et Y, de densité de probabilité conjointe pX,Y(x,y). Nous pouvons former la densité conditionnelle de Y sachant X,

pX(x) est la loi marginale appropriée.

En utilisant le théorème du changement de variable, nous pouvons paramétrer la loi conjointe avec les fonctions U= f(X,Y), V = g(X,Y), et pouvons alors former la densité conditionnelle de V sachant U.

Étant donné une condition particulière sur X et la condition équivalente sur U, l’intuition nous suggère que les densités conditionnelles pY|X(y|x) et pV|U(v|u) devraient être identiques. Ce n’est pas le cas en général.

Un exemple concret[modifier | modifier le code]

Une loi uniforme[modifier | modifier le code]

Soit la densité de probabilité conjointe

La densité marginale de X se calcule

Ainsi la densité conditionnelle de Y sachant X est

qui est uniforme suivant y.

Nouveau paramétrage[modifier | modifier le code]

Maintenant, appliquons la transformation suivante :

En utilisant le théorème du changement de variable, nous obtenons

La distribution marginale se calcule et est égale à

Ainsi la densité conditionnelle de V sachant U est

qui n’est pas uniforme suivant v.

Le résultat non intuitif[modifier | modifier le code]

D'après ce qui précède, nous avons

La condition équivalente dans le système de coordonnées u-v est U = 1, et la densité conditionnelle de V sachant U = 1 est

Paradoxalement, V = Y et X = 0 est identique à U = 1, mais

Voir aussi[modifier | modifier le code]