Opérateur pseudo-différentiel

En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

Rappels et notations

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

Opérateur différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ s'écrit :

${\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ D^{\alpha }$

où les $a_{\alpha }(x)$, appelées coefficients de l'opérateur ${\mathfrak {D}}$, sont des fonctions des $n$ variables d'espace $x^{k},k=1,...,n$.

Introduction de la transformée de Fourier

Définition

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f$ de $n$ variables par :

${\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} }\ e^{-\,i\,\xi \,x}\ f(x)\mathrm {d} x$

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

$f(x)\ ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} }\ e^{+\,i\,\xi \,x}\ {\hat {f}}(\xi )\mathrm {d} \xi$

Application aux opérateurs différentiels

Le symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ est la fonction $\sigma (x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$ polynomiale en $\xi$ :

$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }$

L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ linéaire d'ordre $m$ vérifie alors la relation :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} }{\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\ e^{+\,i\,\xi \,x}\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ à partir de son symbole $\sigma (x,\xi )$. Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a_{\alpha }$ de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x^{k}$, son symbole est seulement une fonction $\sigma (\xi )$ des $n$ variables $\xi$ polynomiale en $\xi$ :

$\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }$

de telle sorte que :

$({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} }{\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\ e^{+\,i\,\xi \,x}\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse :

$({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Soit une fonction $p$ des $n$ variables $\xi$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P_{D}$ à coefficients constants, dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :

$(P_{D}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} }{\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\ e^{+\,i\,\xi \,x}\ p(\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p(\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés :

• la fonction $p(\xi )$ doit être lisse.
• la fonction $p(\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $|\xi |\to \infty$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre $m$ tel que :

$\forall \ \alpha ,\quad \left|\ \partial _{\xi }^{\alpha }\ p(\xi )\ \right|\ \leq \ C_{\alpha }\ \left(1\ +\ |\xi |\ \right)^{m-|\alpha |}$

où les $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha$.

Calcul symbolique exact

Soient $P_{1}$ et $P_{2}$ deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles $p_{1}(\xi )$ et $p_{2}(\xi )$. Alors, l'opérateur $P=P_{1}P_{2}$ est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit $p_{1}(\xi )p_{2}(\xi )$.

Opérateur pseudo-différentiel : cas général

Définition

Soit une fonction $p(x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P_{D}$, dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :

$(P_{D}\,f)(x)\ ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\ \int _{\mathbb {R} }\ e^{+\,i\,\xi \,x}\ p(x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )\mathrm {d} \xi$

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : $P_{D}=p(x,D)$

Propriétés requises du symbole

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p(x,\xi )$ présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

• la fonction $p(x,\xi )$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $|\xi |\to \infty$, cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre $m$ tel que $\forall \ \alpha ,\quad \left|\ \partial _{\xi }^{\alpha }\ p(x,\xi )\ \right|\ \leq \ C_{\alpha }\ \left(1\ +\ |\xi |\ \right)^{m-|\alpha |}$ où les $C_{\alpha }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha$.
• la fonction $p(x,\xi )$ doit avoir une variation lente dans les variables d'espace $x$. On demande explicitement que $\forall \ \alpha ,\quad \left|\ \partial _{x}^{\alpha }\ p(x,\xi )\ \right|\ \leq \ C_{\alpha }\ \left(1\ +\ |\xi |\ \right)^{m}$

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre $m$.

Classe des symboles d'ordre m

Soit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un compact, et $p(x,\xi )$ une fonction lisse de ${\mathcal {C}}^{\infty }(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$. Soit $m$ un nombre réel quelconque. La classe $S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$ des symboles d'ordre $m$ est définie par :

$S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})\ =\ \left\{\ p(x,\xi )\ {\Big /}\ \left|\ \partial _{\xi }^{\alpha }\ \partial _{x}^{\beta }\ p(x,\xi )\ \right|\ \leq \ C_{\alpha ,\beta ,\Omega }\ \left(1\ +\ |\xi |\ \right)^{m-|\alpha |}\ \right\}$

pour tout $x\in \Omega$, $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$, et pour tous les multi-indices $\alpha ,\beta$. Les $C_{\alpha ,\beta ,\Omega }$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $\alpha ,\beta$ et $\Omega$.

Remarque : lorsque la mention du compact $\Omega$ est indifférente, on note simplement : $S^{m}\ =\ S^{m}(\Omega \times \mathbb {R} ^{n})$

On note souvent $\Psi ^{m}$ l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans $S^{m}$

Propriété de pseudo-localité

Support singulier d'une distribution

On appelle support singulier d'une distribution $u$ le complémentaire de l'ensemble des points au voisinage desquels $u$ est une fonction $C^{\infty }$.

Calcul symbolique

Soient $p_{j},(j=1,2)$ des éléments de $S^{m_{j}}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})$. Alors l'opérateur $p_{1}(x,D)\circ p_{2}(x,D)$ est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à $S^{m_{1}+m_{2}}$ est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est $p_{1}(x,\xi )p_{2}(x,\xi )$

Continuité dans les espaces de Sobolev

On note $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ l'espace de Sobolev standard d'ordre $s$ sur $\mathbb {R} ^{n}$. Soient $s$ et $m$ deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre $m$ sur $\mathbb {R} ^{n}$ (i.e un élément de $\Psi ^{m}$) est continu de $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ dans $H^{s-m}(\mathbb {R} ^{n})$.

Propriété de pseudo-localité

Soit $a\in S^{m}$ et soit $K$ le noyau de $a(x,D)$. Alors $K$ est $C^{\infty }$ pour $x\neq y$. En particulier, pour toute distribution tempérée $u$, supp sing $a(x,D)u\subset$ supp sing $u$

Bibliothèque virtuelle

• MS Joshi ; Lectures on Pseudo-differential Operators. Cours disponible sur l'ArXiv.

Bibliographie

• Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, coll. « Savoirs actuels », EDP Sciences/CNRS éditions, 1991 (ISBN 2-86883-363-2). Issu d’un cours professé à l’École normale supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.
• Jacques Chazarain et Alain Piriou, Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars, 1981 (ISBN 2-04-012157-9).
• (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2^e éd., 1999 (ISBN 3-540-65377-5). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2^e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3).
• (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.
• (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
• (en) M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag, 2001 (ISBN 3-540-41195-X).
• (en) Michael E. Taylor (en), Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, 1981 (ISBN 0-691-08282-0).
• (en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (n^o 116), Springer-Verlag, 2^e éd., 1997 (ISBN 0-387-94651-9). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (n^o 23), Springer-Verlag, 2^e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3).
• (en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (n^o 117), Springer-Verlag, 2^e éd., 1997 (ISBN 0-387-94652-7).
• (en) François Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, coll. « University Series in Mathematics », Plenum Publ., 1981 (ISBN 0-306-40404-4).