Moyenne de Reynolds

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Dans le cadre du traitement en mécanique des fluides de la turbulence, l'utilisation de la décomposition de Reynolds appliquée aux solutions de l'équation de Navier-Stokes permet de simplifier le problème en faisant disparaitre les fluctuations de périodes et d'amplitudes courtes. La méthode est connue sous le nom de moyenne de Reynolds ou sous le terme anglais de RANS pour Reynolds-averaged Navier–Stokes.

L'équation de Navier-Stokes[modifier | modifier le code]

On rappelle la forme de l'équation de Navier-Stokes dans le cas des fluides incompressibles :

avec les notations

Cette équation s'écrit sous une forme plus compacte :

représente la ième composante du champ de vitesses instantanées à l'instant t aux coordonnées dans le fluide, et représentent respectivement les dérivations partielles par rapport au temps et par rapport à la ième coordonnée spatiale, représente la densité du fluide, ici constante d'après l'hypothèse d'incompressibilité et le tenseur des contraintes défini par ses composantes :


est le symbole de Kronecker, qui vaut 1 si i = j et 0 sinon.

g est la densité volumique de la force extérieure appliquée.

Décomposition de Reynolds[modifier | modifier le code]

L'utilisation de la décomposition de Reynolds se justifie lorsqu'on a affaire à un phénomène présentant un spectre séparé en deux parties nettement distinctes : une bande de basses fréquences ou de régime quasi-permanent, de contribution moyenne sinon constante, du moins variant peu au cours du temps, nettement séparée d'une bande de régimes transitoires de haute fréquence et de contribution moyenne nulle. Ainsi :

où la barre au-dessus du u signale la moyenne statistique, l'apostrophe sur le u signale le terme d'écart par rapport à cette moyenne. Cet artifice permet faire apparaître un problème à variation spatio-temporelle lente, éventuellement de dimension 2 là où le problème turbulent est à variations rapides et généralement de dimension 3.

Moyenne de Reynolds et équation de Reynolds[modifier | modifier le code]

La moyenne suit les règles suivantes :

et par définition .

On introduit la notion de fluctuation pour toutes les variables :

 ,  etc.

En moyennant les équations de Navier-Stokes (ce qui a pour effet de faire disparaitre les termes de fluctuation rapides, qui sont de moyenne nulle), celles-ci deviennent

d'où :

Le même calcul plus général peut être mené avec le tenseur des contraintes au lieu de la viscosité . L'équation de Navier-Stokes devient l'équation de Reynolds :


ce qui peut encore s'écrire :


Il reste donc un terme fonction des fluctuations rapides, mais seulement par le truchement de leur variance, c’est-à-dire de la moyenne de leur carré qui en fait donc un terme sinon constant du moins variant peu. Le terme est appelé tenseur de Reynolds.

Tenseur de Reynolds[modifier | modifier le code]

  • La demi-trace du tenseur de Reynolds s'identifie de façon évidente avec la densité de l'énergie cinétique turbulente moyenne.
  • La partie non diagonale du tenseur de Reynolds peut être interprétée comme un terme de viscosité supplémentaire s'appliquant à l'écoulement moyen en s'ajoutant à la viscosité cinématique ν et baptisée viscosité turbulente.
  • Le tenseur de Reynolds obéit à une équation de transport, qui fait apparaître elle-même un terme de corrélations triples  

Références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]