Méthode de Welch

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En estimation spectrale, la méthode de Welch fournit un estimateur consistant de la densité spectrale de puissance. Cette méthode a été proposée par P.D. Welch en 1967. Le biais de l'estimation est diminué en moyennant temporellement. Elle est à comparer à la méthode de Barlett où on utilise les propriétés d'ergodicité du signal avec des moyennes statistiques.

Algorithme[modifier | modifier le code]

  1. Découpe du signal en N segments.
  2. Chevauchement de chaque segment.
  3. Fenêtrage de chaque segment.
  4. Calcul de la transformée de Fourrier de chaque segment.
  5. Moyenne de chaque segments.

Le fenêtrage permet de limiter le phénomène de Gibbs.

Formulation Mathématique [1][modifier | modifier le code]

En prenant un signal de longueur M découpé en K segments de longueur N et décalé de D points chacun. Le kième segments s'écriera  x_{k}(n) = x(n + kD). Par conséquent la longueur du recouvrement sera donc de  \max(N-D,0).

La densité spectrale de puissance estimée s'écrit :

 \hat{S}_W(\omega ) = \frac{1}{KNU} \sum_{k=1}^{K} {\left| \sum_{n=1}^{N} w(n)x(n+kD)\exp(-j\omega n)\right|^2}

  • w(n) une fenêtre d'apodisation de longueur M.
  • U est une constante introduite pour que \hat{S}_{W}(\omega) soit asymptotiquement non biaisé. Elle se calcule : U = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} {|w(n)|}^2

Biais[modifier | modifier le code]

Variance[modifier | modifier le code]

Problèmes de stationnarité[modifier | modifier le code]

Puisque chaque segment est moyenné cet algorithme part du principe que le contenu spectral n'évolue pas, autrement dit que le processus est stationnaire.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Estimation spectrale, méthodes non-paramétriques. J. Benesty.INRS-EMT

(en) Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J., Prentice Hall,‎ 1999 (ISBN 0-13-754920-2)