Méthode de Welch

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En estimation spectrale, la méthode de Welch fournit un estimateur consistant de la densité spectrale de puissance. Cette méthode a été proposée par P.D. Welch en 1967. Le biais de l'estimation est diminué en moyennant temporellement. Elle est à comparer à la méthode de Barlett (en) où on utilise les propriétés d'ergodicité du signal avec des moyennes statistiques. La méthode de Welch, comme la méthode de Barlett, utilise une estimation du spectre du périodogramme ; dans les deux cas, on réduit le bruit aux dépens de la résolution en fréquence.

Principe de la méthode[modifier | modifier le code]

La méthode de Welch se fonde sur la méthode de Barlett, mais avec deux différences :

  1. Le signal est découpé en segments qui se recouvrent : le segment de données original est divisé en L segments de longueur M, qui se recouvrent de D points.
    1. Si D = M / 2, on dit que le recouvrement est de 50 %.
    2. Si D = 0, on dit que le recouvrement est de 0 %. Cette situation correspond à la méthode de Barlett.
  2. Les segments qui se recouvrent sont alors « fenêtrés » : on applique une fenêtre temporelle à chacun des L segments.
    1. La plupart des fonctions de fenêtrage donnent plus d'influence aux données qui sont au centre du segment qu'aux données qui sont au bord, ce qui entraîne une perte d'information. C'est pour réduire cet effet que l'on prend des segments qui se recouvrent.
    2. Du fait du fenêtrage, le périodogramme est modifié.

Une fois les données préparées comme ci-dessus, on détermine pour chaque segment le périodogramme par transformée de Fourier discrète, puis on calcule le carré du module du résultat. On détermine la moyenne temporelle des périodogrammes individuels, ce qui réduite la variance des déterminations des puissances individuelles. On obtient ainsi des puissances en fonction de fréquences.

Algorithme[modifier | modifier le code]

  1. Découpe du signal en N segments.
  2. Chevauchement de chaque segment.
  3. Fenêtrage de chaque segment.
  4. Calcul de la transformée de Fourrier de chaque segment.
  5. Moyenne de chaque segments.

Le fenêtrage permet de limiter le phénomène de Gibbs.

Formulation Mathématique [1][modifier | modifier le code]

En prenant un signal de longueur M découpé en K segments de longueur N et décalé de D points chacun. Le kième segments s'écriera  x_{k}(n) = x(n + kD). Par conséquent la longueur du recouvrement sera donc de  \max(N-D,0).

La densité spectrale de puissance estimée s'écrit :

 \hat{S}_W(\omega ) = \frac{1}{KNU} \sum_{k=1}^{K} {\left| \sum_{n=1}^{N} w(n)x(n+kD)\exp(-j\omega n)\right|^2}

  • w(n) une fenêtre d'apodisation de longueur M.
  • U est une constante introduite pour que \hat{S}_{W}(\omega) soit asymptotiquement non biaisé. Elle se calcule : U = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} {|w(n)|}^2

Biais[modifier | modifier le code]

Variance[modifier | modifier le code]

Problèmes de stationnarité[modifier | modifier le code]

Puisque chaque segment est moyenné cet algorithme part du principe que le contenu spectral n'évolue pas, autrement dit que le processus est stationnaire.

Mise en œuvre[modifier | modifier le code]

Le choix des paramètres de la méthode influence le résultat. Pour une première approche, lorsque l'on ne connaît pas les caractéristiques du signal, on peut faire une analyse avec les paramètres suivants : soit M le nombre de points que contient le signal,

  • pour le nombre K de segments, on choisit le multiple de deux juste inférieur à M,
    K = 2n avec n ∈ ℕ et K ≤ M < 2×K ;
  • le recouvrement est pris égal à (2/3)×K ;
  • on calcule le spectre sur 2×K points ;
  • pour le fenêtrage, on utilise une fenêtre de Hanning.

La méthode de Welch est intégrée :

  • dans la toolbox Signal Processing de Matlab, avec la fonction pwelch()[2] ;
  • dans Scilab, avec la fonction pspect()[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Estimation spectrale, méthodes non-paramétriques. J. Benesty.INRS-EMT
  2. (en) « pwelch », sur MathWorks
  3. (en) « pspect », sur Aide Scilab

(en) Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J., Prentice Hall,‎ 1999 (ISBN 0-13-754920-2)

Voir aussi[modifier | modifier le code]